京都大学 1996年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第5問

同じ目がある場合の得点は0である。したがって，3回の出目がすべて異なる場合だけを考えればよい。

まず，円周の6等分点から異なる3点を順序を無視して選ぶと ${}_6{\mathrm{C}}_3=20$ 通りである。

中心 $O$ が三角形の内部にあるのは，選んだ3点が円周上で1つおきに並ぶ場合である。これは $\{P_1,P_3,P_5\},\{P_2,P_4,P_6\}$ の2通りである。

中心 $O$ が辺上にあるのは，選んだ3点の中に対蹠点の組が含まれる場合である。対蹠点の組は $(P_1,P_4),(P_2,P_5),(P_3,P_6)$ の3通りであり，残り1点はその組以外の4点から選べる。したがって $3\cdot 4=12$ 通りである。

残りは $20-2-12=6$ 通りで，この場合は中心 $O$ は三角形の外部にある。

出目には順序があるので，各3点の組に対して順序は $3!=6$ 通りある。よって期待値は$${\displaystyle \frac{3\cdot 2\cdot 6+2\cdot 12\cdot 6+1\cdot 6\cdot 6}{6^3}}={\displaystyle \frac{36+144+36}{216}}=1$$である。

出目を初めから順序つきで数える。同じ目を含む場合は得点0なので、
異なる3点の集合を「中心が内部・辺上・外部」の3型に分類し、
各集合に6通りの順列を掛けて得点総和を求める。

異なる3点の集合は$${}_6{\mathrm{C}}_3=20$$個である。中心が内部にあるのは頂点を1つおきに取る$$\{P_1,P_3,P_5\},\{P_2,P_4,P_6\}$$の2集合である。

中心が辺上にあるのは、3点中に対蹠点の組が含まれる場合である。
対蹠点の組は3組あり、第3の点は残る4点から選べるので$$3\cdot 4=12$$集合である。残る $20-2-12=6$ 集合では中心は外部にある。

各集合の並べ方は $3!=6$ 通りだから、順序つきの場合の数は$$12,72,36$$である。したがって得点の期待値は$${\displaystyle \frac{3\cdot 12+2\cdot 72+1\cdot 36}{6^3}}={\displaystyle \frac{216}{216}}=1.$$