京都大学 1995年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1)

各空席に重みをつける。端席、または隣に先客がいる空席の重みを $1$、両隣が空席である内部の席の重みを $2$ とする。このとき、次の客がある席に座る確率は ${\displaystyle \frac{\text{その席の重み}}{\text{全空席の重みの和}}}$ である。

最初は1番と7番の重みが $1$、2番から6番の重みが $2$ なので、重みの和は $1+5\cdot 2+1=12$ である。

3人目が到着した時点で1番と3番に先客がいるには、最初の2人が $1,3\text{または}3,1$ の順に座るしかない。

まず $1\to 3$ の場合、1番に座る確率は $1\mathrm{/}12$ である。1番に人が座った後、空席の重みの和は $10$ で、3番の重みは $2$ だから $$P(1\to 3)={\displaystyle \frac{1}{12}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{10}}$$ である。

次に $3\to 1$ の場合、3番に座る確率は $2\mathrm{/}12$ である。3番に人が座った後、空席の重みの和は $8$ で、1番の重みは $1$ だから $$P(3\to 1)={\displaystyle \frac{2}{12}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{8}}$$ である。したがって求める確率は$${\displaystyle \frac{1}{12}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{10}}+{\displaystyle \frac{2}{12}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{8}}={\displaystyle \frac{1}{60}}+{\displaystyle \frac{1}{48}}={\displaystyle \frac{3}{80}}$$である。

(2)

4人目が到着した時点で2番、4番、6番に先客がいるには、最初の3人がこの3席に座る必要がある。順序は6通りである。

各順序の確率を、各時点の重みの和を確認しながら計算する。最初に2番または6番へ座った後の重みの和は $9$、最初に4番へ座った後の重みの和は $8$ である。また、指定席のうち2席が埋まった後、残り1席に座る直前の重みの和はいずれも $6$ である。よって$$\begin{array}{cc}\text{順序}& \text{確率}\\ 2,4,6& {\displaystyle \frac{2}{12}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{9}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{6}}={\displaystyle \frac{1}{81}}\\ 2,6,4& {\displaystyle \frac{2}{12}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{9}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{6}}={\displaystyle \frac{1}{81}}\\ 4,2,6& {\displaystyle \frac{2}{12}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{8}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{6}}={\displaystyle \frac{1}{72}}\\ 4,6,2& {\displaystyle \frac{2}{12}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{8}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{6}}={\displaystyle \frac{1}{72}}\\ 6,2,4& {\displaystyle \frac{2}{12}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{9}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{6}}={\displaystyle \frac{1}{81}}\\ 6,4,2& {\displaystyle \frac{2}{12}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{9}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{6}}={\displaystyle \frac{1}{81}}\end{array}$$である。

したがって求める確率は$$4\cdot {\displaystyle \frac{1}{81}}+2\cdot {\displaystyle \frac{1}{72}}={\displaystyle \frac{16}{324}}+{\displaystyle \frac{9}{324}}={\displaystyle \frac{25}{324}}$$である。

空席の重み

着席済み集合 $S$ まで到達する確率を $F(S)$ とする部分集合DPで数える。
各空席の重みを $w_j(S)$、全重みを $W(S)$ とすれば、
直前の集合からの遷移確率だけを足せばよい。対称な集合をまとめて計算する。

端席、または着席済みの席に隣接する空席の重みを1、両隣が空席である
内部席の重みを2とする。着席済み集合を $S$ とし$$F(S)=\mathrm{Pr}(\text{ちょうど }S\text{ の席が埋まる})$$とおく。すると$$F(S\cup \{j\})+=F(S){\displaystyle \frac{w_j(S)}{W(S)}}$$である。最初の全重みは12である。

(1)

集合 $\{1,3\}$ へ至る直前は $\{1\}$ または $\{3\}$ だけである。
よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle F(\{1,3\})}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{12}}{\displaystyle \frac{2}{10}}+{\displaystyle \frac{2}{12}}{\displaystyle \frac{1}{8}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{3}{80}}\mathrm{.}}\end{array}$$(2)

対称性と2段階の遷移から$$\begin{array}{rl}{\displaystyle F(\{2,4\})=F(\{4,6\})}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2}{12}}{\displaystyle \frac{2}{9}}+{\displaystyle \frac{2}{12}}{\displaystyle \frac{2}{8}}={\displaystyle \frac{17}{216}},}\\ {\displaystyle F(\{2,6\})}& {\displaystyle =2\cdot {\displaystyle \frac{2}{12}}{\displaystyle \frac{2}{9}}={\displaystyle \frac{2}{27}}\mathrm{.}}\end{array}$$これら3つの集合では、残る指定席の重みは2、全空席の重みは6である。
したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle F(\{2,4,6\})}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{3}}({\displaystyle \frac{17}{216}}+{\displaystyle \frac{2}{27}}+{\displaystyle \frac{17}{216}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{25}{324}}\mathrm{.}}\end{array}$$