京都大学 1994年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第4問

(1) 第1戦の勝者が第2戦でも勝てば、その選手が2勝して優勝する。第1戦の勝者は $A$ または $B$ であり、いずれも $C$ に勝つ確率は $1-p$ である。よって求める確率は $1-p$ である。

(2) 第2戦で $C$ が勝つ確率は $p$ である。このとき3選手の勝数はすべて1となり、第3戦は $C$ と第1戦の敗者との対戦である。第4戦まで続くためには第3戦でその敗者が $C$ に勝つ必要があり、その確率は $1-p$ である。すると第4戦では必ず誰かが2勝する。したがって求める確率は$$p(1-p)$$である。

(3) $C$ が優勝するには、第2戦、第3戦を続けて勝つ必要十分があるから、その確率は $p^2$ である。$A,B$ は対称なので、それぞれの優勝確率は $(1-p^2)\mathrm{/}2$ である。3人の確率が等しい条件は$$p^2={\displaystyle \frac{1-p^2}{2}}$$であり、$0\leqq p\leqq 1$ より$$p={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$$である。

最初の勝者を $X$、敗者を $Y$ と置き、勝者列を木で列挙する。$A,B$ の対称性を最後に使って各選手の優勝確率へ戻す。

(1)
第1戦の勝者を $X$、敗者を $Y$ とする。第2戦は $X$ 対 $C$ である。
$X$ が勝てば2勝となるので、2戦で終了する確率は$$1-p\mathrm{.}$$(2)
第2戦で $C$ が勝つ確率は $p$ である。この時点で $X,C$ が1勝ずつで、
第3戦は $C$ 対 $Y$ となる。第4戦へ進むには $Y$ が勝つ必要があり、
その確率は $1-p$ である。ゆえに$$\mathrm{Pr}(\text{第4戦で決着})=p(1-p)\mathrm{.}$$(3)
$C$ が優勝する勝者列は$$X,C,C$$だけである。したがって$$\mathrm{Pr}(C\text{優勝})=p^2\mathrm{.}$$$A,B$ は対称だから$$\mathrm{Pr}(A\text{優勝})=\mathrm{Pr}(B\text{優勝})={\displaystyle \frac{1-p^2}{2}}\mathrm{.}$$3人が等確率となる条件は$$p^2={\displaystyle \frac{1-p^2}{2}}\mathrm{.}$$$0\leqq p\leqq 1$ より$$p={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}\mathrm{.}$$