京都大学 1996年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

まず$$I={\int }_{-2}^2(t^2-a^2)dt={[{\displaystyle \frac{t^3}{3}}-a^{2}t]}_{-2}^2={\displaystyle \frac{16}{3}}-4a^2$$とおく。 $x>2$ のときは $\mathrm{\mid }x-t\mathrm{\mid }=x-t$ であるから，$g(x)$ は $x$ について傾き $I$ の一次関数である。$x<-2$ のときは $\mathrm{\mid }x-t\mathrm{\mid }=t-x$ であるから，傾きは $-I$ である。したがって $I<0$ なら，$x\to \mathrm{\infty }$ または $x\to -\mathrm{\infty }$ で $g(x)$ はいくらでも小さくなり，最小値をもたない。よって最小値をもつためには $I\geqq 0$ が必要である。これは ${\displaystyle \frac{16}{3}}-4a^2\geqq 0$ すなわち $$0<a\leqq {\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}$$ である。

以下，この条件を仮定する。$-2<x<2$ では，微分して $$g^{\mathrm{\prime }}(x)={\int }_{-2}^x(t^2-a^2)dt-{\int }_x^2(t^2-a^2)dt$$ である。計算すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle g^{\mathrm{\prime }}(x)}& {\displaystyle =2{\int }_{-2}^x(t^2-a^2)dt-I}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2({\displaystyle \frac{x^3}{3}}-a^{2}x+{\displaystyle \frac{8}{3}}-2a^2)-({\displaystyle \frac{16}{3}}-4a^2)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2x({\displaystyle \frac{x^2}{3}}-a^2)}\end{array}$$である。 $0<a\leqq 2\mathrm{/}\sqrt{3}$ なら $\sqrt{3}a\leqq 2$ なので，臨界点 $x=\pm \sqrt{3}a$ は区間 $[-2,2]$ に入る。$g^{\mathrm{\prime }}(x)$ の符号を見ると，$x=-\sqrt{3}a$ と $x=\sqrt{3}a$ で最小になり，$x=0$ では最大になる。また $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }>2$ では外側へ向かって下がらないので，これらが全体の最小点である。

最小値を求める。$0\leqq x\leqq 2$ では $$g(x)={\int }_{-2}^x(x-t)(t^2-a^2)dt+{\int }_x^2(t-x)(t^2-a^2)dt$$ であり，整理すると $$g(x)={\displaystyle \frac{x^4}{6}}-a^2{x}^2-4a^2+8$$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle g(\sqrt{3}a)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(\sqrt{3}a{)}^4}{6}}-a^2(\sqrt{3}a{)}^2-4a^2+8}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{9a^4}{6}}-3a^4-4a^2+8}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =8-4a^2-{\displaystyle \frac{3}{2}}{a}^4}\end{array}$$である。

よって，$g(x)$ が最小値をもつための $a$ の範囲は $$0<a\leqq {\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}$$ であり，そのときの最小値は $8-4a^2-{\displaystyle \frac{3}{2}}{a}^4$ である。

偶関数であることを先に使い、$\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\leqq 2$ では積分を直接実行して
偶四次式を得る。外側では一次式になるため、その傾きから最小値の
存在条件を決める。四次式は $u=x^2$ の二次式として平方完成する。

被積分関数の変数を $t\mapsto -t$ と変えれば $g(-x)=g(x)$ なので、
$g$ は偶関数である。$0\leqq x\leqq 2$ では$$\begin{array}{rl}{\displaystyle g(x)}& {\displaystyle ={\int }_{-2}^x(x-t)(t^2-a^2)dt+{\int }_x^2(t-x)(t^2-a^2)dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{x^4}{6}}-a^2{x}^2+8-4a^2\mathrm{.}}\end{array}$$$u=x^2$ とおけば$$g(x)={\displaystyle \frac{1}{6}}(u-3a^2{)}^2+8-4a^2-{\displaystyle \frac{3}{2}}{a}^4\mathrm{.}$$よって $\sqrt{3}a\leqq 2$ なら、区間内の最小は$$x=\pm \sqrt{3}a$$で取り、その値は$$8-4a^2-{\displaystyle \frac{3}{2}}{a}^4\mathrm{.}$$一方 $x\geqq 2$ では対称性により $${\int }_{-2}^{2}t(t^2-a^2)dt=0$$ だから$$g(x)=x{\int }_{-2}^2(t^2-a^2)dt=4x({\displaystyle \frac{4}{3}}-a^2)\mathrm{.}$$$x\leqq -2$ でも $g(x)=g(-x)$ である。
したがって $a>2\mathrm{/}\sqrt{3}$ なら $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\to \mathrm{\infty }$ で
$g(x)\to -\mathrm{\infty }$ となり、最小値をもたない。
$0<a\leqq 2\mathrm{/}\sqrt{3}$ なら外側へ向かって減少せず、
上で得た区間内の最小が全体の最小である。

ゆえに求める範囲と最小値は$$0<a\leqq {\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}},\min g=8-4a^2-{\displaystyle \frac{3}{2}}{a}^4\mathrm{.}$$