京都大学 1995年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

時刻 $t$ における水面の高さを $y$ とする。高さ $y$ での水面は半径 $f(y)$ の円であるから、その面積を $A(y)=\pi f(y{)}^2$ とおく。

高さ $y$ まで水が入っているときの水量は、水平断面積を積み重ねて $${\int }_0^{y}A(s)ds$$ である。一方、単位時間あたり $V$ の割合で水を入れるので、この水量は $Vt$ に等しい。したがって $$Vt={\int }_0^{y}A(s)ds$$ である。

問題の条件では、その時刻の水面の面積が $Vt+\pi a^2$ である。よって $$A(y)=Vt+\pi a^2={\int }_0^{y}A(s)ds+\pi a^2$$ を得る。右辺は $y$ で微分できるので、$A(y)$ も微分でき、両辺を微分して $A^{\mathrm{\prime }}(y)=A(y)$ となる。また $f(0)=a$ より $A(0)=\pi a^2$ である。 $A^{\mathrm{\prime }}(y)=A(y)$ だから $${\displaystyle \frac{d}{dy}}\{A(y)e^{-y}\}=0$$ であり、$A(y)e^{-y}$ は一定である。$y=0$ を代入して $A(y)=\pi a^2{e}^y$ を得る。したがって $\pi f(y{)}^2=\pi a^2{e}^y$ であり、$f(y)>0$ だから $f(y)=a{e}^{y\mathrm{/}2}$ である。

満水になるまでに入る水量は $${\int }_0^h\pi a^2{e}^{y}dy=\pi a^2(e^h-1)$$ である。単位時間あたりの水量が $V$ なので $$T={\displaystyle \frac{\pi a^2(e^h-1)}{V}}$$ である。

指数的に広がる容器の断面

水面の高さを時刻の関数 $y(t)$ とみる。注水速度は
「断面積×上昇速度」なので微分方程式を立て、与えられた
水面積 $Vt+\pi a^2$ を直接代入して $y(t)$ を求める。

時刻 $t$ の水面の高さを $y(t)$、水面積を $A(t)$ とする。
条件より$$A(t)=Vt+\pi a^2\mathrm{.}$$単位時間に増える体積は、断面積と水面の上昇速度の積だから$$A(t){\displaystyle \frac{dy}{dt}}=V\mathrm{.}$$よって$${\displaystyle \frac{dy}{dt}}={\displaystyle \frac{V}{Vt+\pi a^2}}\mathrm{.}$$$y(0)=0$ を用いて積分すると$$y(t)=\log (1+{\displaystyle \frac{Vt}{\pi a^2}})\mathrm{.}$$したがって、高さが $y$ になる時刻は$$t={\displaystyle \frac{\pi a^2}{V}}(e^y-1)\mathrm{.}$$このときの水面積は$$Vt+\pi a^2=\pi a^2{e}^y\mathrm{.}$$一方、水面積は $\pi f(y{)}^2$ だから$$\pi f(y{)}^2=\pi a^2{e}^y\mathrm{.}$$$f(y)>0$ より$$f(y)=a{e}^{y\mathrm{/}2}\mathrm{.}$$満水時には $y=h$ なので$$T={\displaystyle \frac{\pi a^2(e^h-1)}{V}}\mathrm{.}$$