京都大学 1998年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1) $$C=AB-BA$$とおく。$A,B$は交換可能でないから$C\mathrm{\ne }O$である。一方、$A$と$AB$が交換可能であることから$$A(AB)=(AB)A,A^{2}B=ABA,$$従って$$AC=A(AB-BA)=O\mathrm{.}$$同様に、$A$と$BA$が交換可能であることから$$A(BA)=(BA)A,ABA=B{A}^2,$$従って$$CA=(AB-BA)A=O\mathrm{.}$$もし$\det A=ad-bc\mathrm{\ne }0$ならば$A$は逆行列を持つ。$AC=O$の左から$A^{-1}$を掛けると$C=O$となり、矛盾する。よって$$ad-bc=0.$$(2)
2次行列について直接成分計算すれば$$A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=O$$が成り立つ。(1)より$\det A=ad-bc=0$だから$$A^2=(a+d)A\mathrm{.}$$$t=a+d$とおく。$t\mathrm{\ne }0$と仮定し、$$P={\displaystyle \frac{1}{t}}A$$とおけば$P^2=P$である。また$AC=CA=O$より$PC=CP=O$である。

一方、$C=AB-BA=t(PB-BP)$だから$$O=PC=t(PB-PBP),O=CP=t(PBP-BP)\mathrm{.}$$$t\mathrm{\ne }0$より$PB=PBP=BP$となり、$C=t(PB-BP)=O$となる。これは$C\mathrm{\ne }O$に矛盾する。従って$t=0$であり、$$A^2=tA=O\mathrm{.}$$

2つの交換条件をつないで $A^{2}B=B{A}^2$ を得る。(1)は $A$ が可逆なら直ちに矛盾すること、(2)は2次行列の恒等式 $A^2-(\mathrm{tr}A)A=O$ を代入するだけで結論を出す。

(1)
$A$ と $AB$ が交換可能なので$$A^{2}B=ABA\mathrm{.}$$もし $\det A\mathrm{\ne }0$ なら左から $A^{-1}$ を掛けて$$AB=BA$$となり、仮定に反する。従って$$\det A=ad-bc=0.$$(2)
$A$ と $BA$ が交換可能なので$$ABA=B{A}^2\mathrm{.}$$上の式と合わせて$$A^{2}B=B{A}^2\mathrm{.}$$2次行列では成分を直接展開することで$$A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=O$$が成り立つ。(1)より$$A^2=(a+d)A\mathrm{.}$$これを $A^{2}B=B{A}^2$ へ代入すると$$(a+d)AB=(a+d)BA\mathrm{.}$$$AB\mathrm{\ne }BA$ だから $a+d=0$ でなければならない。従って$$A^2=(a+d)A=O\mathrm{.}$$