京都大学 1999年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

直線を $y=mx$ とする。曲線は$$y=\{\begin{array}{ll}-x^2-2x& (x<-2),\\ x^2+2x& (x\geqq -2)\end{array}$$である。原点以外の交点の $x$ 座標は$$-(m+2),m-2$$である。相異なる3点で交わるためには$$m>0,m\mathrm{\ne }2$$が必要である。

曲線と直線の差を $D(x)$ とする。直線より下側にある領域の面積は、原点と $x=m-2$ の間にでき、$$S_1={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }m-2{\mathrm{\mid }}^3}{6}}$$である。

まず $0<m<2$ とする。このとき直線より上側の領域は$$x=-(m+2)\text{から}x=m-2$$までである。折れ点 $-2$ で分けて積分すると$$S_2=2m^2\mathrm{.}$$従って$${\displaystyle \frac{S_1}{S_2}}={\displaystyle \frac{(2-m{)}^3}{12m^2}}\mathrm{.}$$条件 $S_1:S_2=9:8$ より$$2(2-m{)}^3=27m^2\mathrm{.}$$左辺と右辺の比 $(2-m{)}^3\mathrm{/}{m}^2$ は $0<m<2$ で単調減少するので解は高々一つであり、代入により$$m={\displaystyle \frac{1}{2}}$$が解である。

次に $m>2$ とする。このとき$$S_2={\int }_{-(m+2)}^{0}D(x)dx={\displaystyle \frac{(m+2{)}^3-16}{6}}\mathrm{.}$$しかし$$\{(m+2{)}^3-16\}-(m-2{)}^3=12m^2>0$$だから $S_1\mathrm{/}{S}_2<1$ であり、$9\mathrm{/}8$ にはならない。

従って求める傾きは$${\displaystyle \frac{1}{2}}$$である。

面積公式を得た後、比の方程式を単調性に頼らず因数分解する。$0<m<2$ では三次式が $(2m-1)(m+4{)}^2$ に分かれるため解が直ちに定まり、$m>2$ は面積比較で除外する。

直線を $y=mx$ とする。原点以外の交点は$$x=-(m+2),x=m-2$$で、3点が相異なる条件は $m>0,m\mathrm{\ne }2$ である。面積計算から$$S_1={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }m-2{\mathrm{\mid }}^3}{6}}\mathrm{.}$$$0<m<2$ では$$S_2=2m^2\mathrm{.}$$従って $S_1:S_2=9:8$ は$$2(2-m{)}^3=27m^2\mathrm{.}$$整理すると$$2m^3+15m^2+24m-16=(2m-1)(m+4{)}^2=0.$$範囲内の解は $m=1\mathrm{/}2$ だけである。

$m>2$ では$$6S_2=(m+2{)}^3-16,$$かつ$$6(S_2-S_1)=(m+2{)}^3-16-(m-2{)}^3=12m^2>0.$$従って $S_1\mathrm{/}{S}_2<1$ となり $9\mathrm{/}8$ にはならない。よって傾きは$${\displaystyle \frac{1}{2}}$$である。