京都大学 1999年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

与えられた式は $$x={\displaystyle \frac{t(3-t)}{t+1}},y={\displaystyle \frac{t^2(3-t)}{t+1}}=tx$$ と書ける。以下、$0\leqq t\leqq 3$ で考える。

まず $x$ の範囲を求める。微分すると$$x^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{(3-2t)(t+1)-(3t-t^2)}{(t+1{)}^2}}={\displaystyle \frac{-t^2-2t+3}{(t+1{)}^2}}=-{\displaystyle \frac{(t-1)(t+3)}{(t+1{)}^2}}$$である。$0\leqq t\leqq 3$ では $t+3>0$, $(t+1{)}^2>0$ なので、$x$ は $0\leqq t<1$ で増加し、$1<t\leqq 3$ で減少する。端点と極大値は $$x(0)=0,x(1)=1,x(3)=0$$ である。したがって $0\leqq x\leqq 1$ である。

次に $y$ の範囲を求める。 $$y={\displaystyle \frac{3t^2-t^3}{t+1}}$$ だから$$y^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{(6t-3t^2)(t+1)-(3t^2-t^3)}{(t+1{)}^2}}={\displaystyle \frac{6t-2t^3}{(t+1{)}^2}}={\displaystyle \frac{2t(3-t^2)}{(t+1{)}^2}}$$である。したがって $y$ は $0<t<\sqrt{3}$ で増加し、$\sqrt{3}<t<3$ で減少する。また $y(0)=0,y(3)=0$ であり、最大値は $$y(\sqrt{3})={\displaystyle \frac{3(3-\sqrt{3})}{\sqrt{3}+1}}$$ である。これを整理すると $${\displaystyle \frac{3(3-\sqrt{3})}{\sqrt{3}+1}}=3(2\sqrt{3}-3)=6\sqrt{3}-9$$ である。よって $$0\leqq y\leqq 6\sqrt{3}-9$$ である。

次に面積を求める。$0\leqq t\leqq 3$ では $$x={\displaystyle \frac{t(3-t)}{t+1}}\geqq 0$$ であり、$y=tx$ である。したがって $y\geqq x$ は $tx\geqq x$ と同値である。$x>0$ の部分では $t\geqq 1$ であり、端点を含めても、求める共通部分は曲線の $1\leqq t\leqq 3$ の部分と直線 $y=x$ で囲まれる部分である。

パラメータ表示された閉曲線の面積は$${\displaystyle \frac{1}{2}}\int (x{y}^{\mathrm{\prime }}-y{x}^{\mathrm{\prime }})dt$$で求められる。ここでは $y=tx$ なので $y^{\mathrm{\prime }}=x+t{x}^{\mathrm{\prime }}$ であり、$$x{y}^{\mathrm{\prime }}-y{x}^{\mathrm{\prime }}=x(x+t{x}^{\mathrm{\prime }})-tx{x}^{\mathrm{\prime }}=x^2$$ となる。よって求める面積 $S$ は$$S={\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_1^3{x}^{2}dt={\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_1^3{\left\{{\displaystyle \frac{t(3-t)}{t+1}}\right\}}^{2}dt$$である。すなわち$$S={\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_1^3{\displaystyle \frac{t^2(t-3{)}^2}{(t+1{)}^2}}dt$$である。

被積分関数を割り算で整理すると$${\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \frac{t^2(t-3{)}^2}{(t+1{)}^2}}={\displaystyle \frac{t^2}{2}}-4t+12-{\displaystyle \frac{20}{t+1}}+{\displaystyle \frac{8}{(t+1{)}^2}}$$である。したがって $$S={[{\displaystyle \frac{t^3}{6}}-2t^2+12t-20\log (t+1)-{\displaystyle \frac{8}{t+1}}]}_1^3$$ である。上端では $${\displaystyle \frac{27}{6}}-18+36-20\log 4-2={\displaystyle \frac{41}{2}}-20\log 4$$ であり、下端では $${\displaystyle \frac{1}{6}}-2+12-20\log 2-4={\displaystyle \frac{37}{6}}-20\log 2$$ である。よって $$S={\displaystyle \frac{41}{2}}-{\displaystyle \frac{37}{6}}-20\log 4+20\log 2={\displaystyle \frac{43}{3}}-20\log 2$$ である。したがって求める面積は ${\displaystyle \frac{43}{3}}-20\log 2$ である。

$x$ の最大値は平方完成、$y$ の最大値は最大候補との差の因数分解で求める。面積は曲線と直線 $y=x$ の縦の差を $x$ で積分し、パラメータ積分と部分積分で主解法の面積公式へ帰着する。

$$x=1-{\displaystyle \frac{(t-1{)}^2}{t+1}}\mathrm{.}$$$0\leqq t\leqq 3$ では $x\geqq 0$ であり、上式から $x\leqq 1$。端点と $t=1$ で両端を取るから$$0\leqq x\leqq 1.$$$M=6\sqrt{3}-9$ と置くと$$M-y={\displaystyle \frac{(t-\sqrt{3}{)}^2(t+2\sqrt{3}-3)}{t+1}}\geqq 0.$$$t=\sqrt{3}$ で等号、端点で $y=0$ だから$$0\leqq y\leqq 6\sqrt{3}-9.$$$y=tx$ かつ $x\geqq 0$ より、領域 $y\geqq x$ にある曲線部分は $1\leqq t\leqq 3$ である。縦の差で面積を取ると、$x$ はこの区間で1から0へ減少するので$$S=-{\int }_1^3(y-x)x^{\mathrm{\prime }}dt=-{\int }_1^3(t-1)x{x}^{\mathrm{\prime }}dt\mathrm{.}$$部分積分により端点項は0で$$S={\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_1^3{x}^{2}dt\mathrm{.}$$従って$$S={\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_1^3{\left\{{\displaystyle \frac{t(3-t)}{t+1}}\right\}}^{2}dt={\displaystyle \frac{43}{3}}-20\log 2.$$