京都大学 1993年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1) 分母は $x=1$ で0になるので、極限が有限であるには $f(1)=0$ が必要である。また$$\underset{x\to 1}{\lim }{\displaystyle \frac{f(x)}{x^3-x}}={\displaystyle \frac{f^{\mathrm{\prime }}(1)}{3-1}}=1$$より $f^{\mathrm{\prime }}(1)=2$ である。したがって$$1+a+b+c=0,3+2a+b=2.$$これより $b=-1-2a,c=a$ を得る。(2)

$x=0$ における接線の傾きは $f^{\mathrm{\prime }}(0)=b$ だから、条件(2)より $a>-1\mathrm{/}2$ である。

(3)

弦 $l$ は $(0,a),(1,0)$ を通るので $y=a(1-x)$ である。曲線との差は$$f(x)-a(1-x)=x(x-1)(x+a+1)\mathrm{.}$$$0\leqq x\leqq 1$ かつ $a>-1\mathrm{/}2$ より、この差は0以下である。よって面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^1\{a(1-x)-f(x)\}dx}& {\displaystyle ={\int }_0^{1}x(1-x)(x+a+1)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{12}}+{\displaystyle \frac{a+1}{6}}={\displaystyle \frac{2a+3}{12}}\mathrm{.}}\end{array}$$これが $3\mathrm{/}4$ だから $2a+3=9$、従って$$a=3,b=-7,c=3.$$

分母$x^3-x$との差を取る。極限が1である条件を「差が$x=1$で2重零点をもつ」と読み替え、3次式を1変数で表示して接線・面積条件を処理する。

(1)
(1)$$h(x)=f(x)-(x^3-x)=a{x}^2+(b+1)x+c$$とおく。条件(1)は$$\underset{x\to 1}{\lim }{\displaystyle \frac{h(x)}{x^3-x}}=0$$を意味する。分母は$x=1$で1次の零点をもつので、2次式$h$は$x=1$で少なくとも2重の零点をもつ。よって$$h(x)=a(x-1{)}^2\mathrm{.}$$したがって$$f(x)=x^3-x+a(x-1{)}^2,b=-1-2a,c=a\mathrm{.}$$(2) (2) $f^{\mathrm{\prime }}(0)=b<0$から$a>-1\mathrm{/}2$である。

(3) (3) 端点を結ぶ直線は$l(x)=a(1-x)$で、$$l(x)-f(x)=x(1-x)(x+a+1)\mathrm{.}$$$0\leqq x\leqq 1$、$a>-1\mathrm{/}2$では右辺は非負だから、面積条件は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\displaystyle \frac{3}{4}}}& {\displaystyle ={\int }_0^{1}x(1-x)(x+a+1)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{12}}+{\displaystyle \frac{a+1}{6}}={\displaystyle \frac{2a+3}{12}}\mathrm{.}}\end{array}$$ゆえに$$a=3,b=-7,c=3.$$