京都大学 1996年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第5問

距離$j$の点をちょうど踏む確率を$h_j$とする。$h_0=1,h_1=1\mathrm{/}2$であり、最後の一歩で分類すると$$h_j={\displaystyle \frac{h_{j-1}+h_{j-2}}{2}}(j\geqq 2)\mathrm{.}$$特性方程式から$$h_j={\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}{(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^j\mathrm{.}$$(1)
出発点を跳び越すには、距離$n-1$を踏んだ後に2歩進む必要がある。従って$$p_n={\displaystyle \frac{h_{n-1}}{2}}={\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{3}}{(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^n\mathrm{.}$$(2)
1周目に跳び越した直後は出発点から$n+1$だけ進んだ位置にいる。そこから2周目の出発点までの距離は$n-1$なので、これをちょうど踏む確率は$h_{n-1}$である。以後のコイン投げは独立だから$$r_n=p_n{h}_{n-1}=\{{\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{3}}{(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^n\}\{{\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}{(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^{n-1}\}\mathrm{.}$$

距離 $j$ を踏む確率 $h_j$ の漸化式を作る。
特性方程式を使わず、隣接差 $h_j-h_{j-1}$ が毎回
$-1\mathrm{/}2$ 倍になることから和を取り、閉じた式を得る。
周回後はコイン投げの独立性で確率を掛ける。

距離 $j$ の点をちょうど踏む確率を $h_j$ とする。$$h_0=1,h_1={\displaystyle \frac{1}{2}},h_j={\displaystyle \frac{h_{j-1}+h_{j-2}}{2}}(j\geqq 2)\mathrm{.}$$両辺から $h_{j-1}$ を引くと$$h_j-h_{j-1}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}(h_{j-1}-h_{j-2})\mathrm{.}$$$h_1-h_0=-1\mathrm{/}2$ だから$$h_j-h_{j-1}={(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^j\mathrm{.}$$これを $1$ から $j$ まで足して$$h_j=1+\sum _{r=1}^j{(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^r={\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}{(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^j\mathrm{.}$$(1)

最初の出発点を跳び越すには、距離 $n-1$ を踏んだ直後に
2点進む必要がある。したがって$$p_n={\displaystyle \frac{h_{n-1}}{2}}={\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{3}}{(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^n\mathrm{.}$$(2)

跳び越した直後は次の出発点まで $n-1$ 点分残っている。
そこをちょうど踏む確率は $h_{n-1}$ であり、
以後の試行は独立だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle r_n}& {\displaystyle =p_n{h}_{n-1}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\{{\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{3}}{(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^n\}\{{\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}{(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^{n-1}\}\mathrm{.}}\end{array}$$