京都大学 1996年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第6問

距離$j$をちょうど踏む確率を$h_j$とすると$$h_0=1,h_1={\displaystyle \frac{1}{2}},h_j={\displaystyle \frac{h_{j-1}+h_{j-2}}{2}}\mathrm{.}$$従って$$h_j={\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}{(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^j\mathrm{.}$$(1)
距離$n-1$を踏んでから2歩進む場合に限り出発点を跳び越すので$$p_n={\displaystyle \frac{h_{n-1}}{2}}={\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{3}}{(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^n\mathrm{.}$$(2)
1周目を跳び越す確率は$p_n$である。跳び越した直後は目標点の1点先にいるので、次の出発点までの距離は$n-1$である。この距離を跳び越す確率は$p_{n-1}=h_{n-2}\mathrm{/}2$、ちょうど踏む確率は$h_{n-1}$である。独立性より$$q_{n,k}=p_n(p_{n-1}{)}^{k-2}{h}_{n-1}\mathrm{.}$$$n\to \mathrm{\infty }$で$p_n,p_{n-1}\to 1\mathrm{/}3$、$h_{n-1}\to 2\mathrm{/}3$だから$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{q}_{n,k}={\displaystyle \frac{1}{3}}{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^{k-2}{\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{2}{3^k}}\mathrm{.}$$

到達確率の隣接差から $h_j$ を求める。
各周の出発点を跳び越した直後には必ず次の点にいるため、
次の周で再び跳び越す確率と、初めて踏む確率を同じ数列で表す。
最後は $n\to \mathrm{\infty }$ の極限だけを掛け合わせる。

距離 $j$ をちょうど踏む確率を $h_j$ とすると$$h_0=1,h_1={\displaystyle \frac{1}{2}},h_j={\displaystyle \frac{h_{j-1}+h_{j-2}}{2}}\mathrm{.}$$したがって$$h_j-h_{j-1}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}(h_{j-1}-h_{j-2})$$であり、$$h_j={\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}{(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^j\mathrm{.}$$(1)

距離 $n-1$ を踏んだ後に2点進む場合に限り出発点を跳び越す。
よって$$p_n={\displaystyle \frac{h_{n-1}}{2}}={\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{3}}{(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^n\mathrm{.}$$(2)

1周目を跳び越した直後は、出発点の1点先にいる。
そこから次の出発点を再び跳び越す確率は$${\displaystyle \frac{h_{n-2}}{2}}=p_{n-1},$$ちょうど踏む確率は $h_{n-1}$ である。
各区間のコイン投げは独立だから$$q_{n,k}=p_n(p_{n-1}{)}^{k-2}{h}_{n-1}\mathrm{.}$$$$p_n⟶{\displaystyle \frac{1}{3}},p_{n-1}⟶{\displaystyle \frac{1}{3}},h_{n-1}⟶{\displaystyle \frac{2}{3}}$$より$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{q}_{n,k}={\displaystyle \frac{1}{3}}{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^{k-2}{\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{2}{3^k}}\mathrm{.}$$