京都大学 1997年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第5問

$n$回の試行後の青カード枚数を$B_n$とする。全カードは$n+6$枚である。$B_n=b$であるとき、次の試行で青を引く確率は$b\mathrm{/}(n+6)$だから$$E(B_{n+1}\mid B_n=b)=b+{\displaystyle \frac{b}{n+6}}={\displaystyle \frac{n+7}{n+6}}b\mathrm{.}$$両辺の期待値を取ると$$E(n+1)={\displaystyle \frac{n+7}{n+6}}E(n)\mathrm{.}$$初めは青が3枚なので$E(0)=3$である。従って$$E(n)=3\cdot {\displaystyle \frac{7}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{8}{7}}\cdots {\displaystyle \frac{n+6}{n+5}}=3\cdot {\displaystyle \frac{n+6}{6}}={\displaystyle \frac{n+6}{2}}\mathrm{.}$$よって求める期待値は$$E(n)={\displaystyle \frac{n+6}{2}}\mathrm{.}$$

各回に新しく加わるカードの色だけに注目する。試行直前の青の割合の条件付き期待値が初期の青割合 $1\mathrm{/}2$ のまま保たれることを帰納法で示す。従って各回に加わるカードが青である確率は常に $1\mathrm{/}2$ であり、青の増加枚数の期待値を線形性で足す。

初めの青カードの割合は$${\displaystyle \frac{3}{6}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$$j$ 回後の青カード枚数を $B_j$ とする。次に加わるカードが青である条件付き確率は$${\displaystyle \frac{B_j}{j+6}}$$である。従って$$E(B_{j+1}\mid B_j)=B_j+{\displaystyle \frac{B_j}{j+6}}\mathrm{.}$$両辺を $j+7$ で割ると$$E\left({\displaystyle \frac{B_{j+1}}{j+7}}\mid B_j\right)={\displaystyle \frac{B_j}{j+6}}\mathrm{.}$$期待値を取れば$$E\left({\displaystyle \frac{B_{j+1}}{j+7}}\right)=E\left({\displaystyle \frac{B_j}{j+6}}\right)\mathrm{.}$$従って期待される青の割合はすべての段階で初期値 $1\mathrm{/}2$ のままである。

ゆえに$${\displaystyle \frac{E(n)}{n+6}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$$であり、$$E(n)={\displaystyle \frac{n+6}{2}}\mathrm{.}$$これは「各回に新しく加わる1枚が青である確率の平均は $1\mathrm{/}2$」であり、初めの3枚に期待される青の増分 $n\mathrm{/}2$ を加える、と見ても同じである。