京都大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1)
$3$が出る確率を $q=1-p$ とおく。

Aは、2回目までの合計が$2$のときだけ3回目を行う。したがってAの得点分布は次のようになる。$$\begin{array}{ccccc}\text{得点}& 3& 4& 5& 6\\ \text{確率}& p^3& 2pq& p^{2}q& q^2\end{array}$$実際、最初の2回が$1,1$なら3回目を行い、3回目が$1$なら得点3、$3$なら得点5である。最初の2回の和が$4$または$6$ならそこで止まる。

よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle E_A}& {\displaystyle =3p^3+4\cdot 2pq+5p^{2}q+6q^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-2p^3+3p^2-4p+6}\end{array}$$である。

Bは、2回目までの合計が$2$または$4$のとき3回目を行う。ただし3回行って合計が$7$または$9$なら得点は0である。Bの得点分布は$$\begin{array}{ccccc}\text{得点}& 0& 3& 5& 6\\ \text{確率}& 2p{q}^2& p^3& 3p^{2}q& q^2\end{array}$$である。ここで得点0は、最初の2回が$1,3$または$3,1$、3回目が$3$の場合である。

したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle E_B}& {\displaystyle =3p^3+5\cdot 3p^{2}q+6q^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-12p^3+21p^2-12p+6}\end{array}$$である。ゆえに$$\begin{array}{rl}{\displaystyle E_A-E_B}& {\displaystyle =10p^3-18p^2+8p}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2p(1-p)(4-5p)}\end{array}$$となる。$0<p<1$より$2p(1-p)>0$だから $E_A>E_B$ となる条件は $0<p<{\displaystyle \frac{4}{5}}$ である。

(2)
AとBの得点は独立であり、上の分布表から勝率を比較できる。Aの得点がBの得点より大きい場合を足し、Bの得点がAの得点より大きい場合を引くと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P_A-P_B}& {\displaystyle =p^3(2p{q}^2)+2pq(2p{q}^2+p^3)+p^{2}q(2p{q}^2+p^3)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +q^2(2p{q}^2+p^3+3p^{2}q)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle -3p^{2}q(p^3+2pq)-q^2(p^3+2pq+p^{2}q)\mathrm{.}}\end{array}$$これを$q=1-p$で整理すると $$P_A-P_B=2p^2(1-p{)}^2(p^2-4p+2)$$ である。

ここで $p={\displaystyle \frac{3}{4}}$ とする。このとき$0<p<4\mathrm{/}5$なので、(1)より $E_A>E_B$ である。一方、$$p^2-4p+2={\displaystyle \frac{9}{16}}-3+2=-{\displaystyle \frac{7}{16}}<0$$ であるから $P_A-P_B<0$ すなわち $P_A<P_B$ である。

したがって $$E_A>E_B\text{ ならば }{P}_A>P_B$$ とはいえない。

A・Bの得点分布を確率母関数として一つの式にまとめる。期待値は形式的に微分して $z=1$ を代入し、勝率差は2つの分布の係数を得点順に並べた大小比較表で計算する。作戦ごとの経路を逐一文章で追う解法1とは別に、分布を代数的な対象として処理する。

3が出る確率を $q=1-p$ とする。得点 $r$ の確率を $z^r$ の係数にした式を作ると、AとBについて$$\begin{array}{rl}{\displaystyle F_A(z)}& {\displaystyle =p^3{z}^3+2pq{z}^4+p^{2}q{z}^5+q^2{z}^6,}\\ {\displaystyle F_B(z)}& {\displaystyle =2p{q}^2+p^3{z}^3+3p^{2}q{z}^5+q^2{z}^6\mathrm{.}}\end{array}$$各係数の和は1であり、これが得点分布を表す。

(1)
期待値は$$E_A=F_A^{\mathrm{\prime }}(1),E_B=F_B^{\mathrm{\prime }}(1)$$だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle E_A}& {\displaystyle =-2p^3+3p^2-4p+6,}\\ {\displaystyle E_B}& {\displaystyle =-12p^3+21p^2-12p+6.}\end{array}$$従って$$E_A-E_B=2p(1-p)(4-5p)\mathrm{.}$$$0<p<1$ より$$E_A>E_B⟺0<p<{\displaystyle \frac{4}{5}}\mathrm{.}$$(2)
勝率差は、Aの各得点について「それより小さいBの確率」から「それより大きいBの確率」を引いて重み付けすればよい。得点順に係数を代入して整理すると$$P_A-P_B=2p^2(1-p{)}^2(p^2-4p+2)\mathrm{.}$$ここで$$p={\displaystyle \frac{3}{4}}$$を取ると $E_A>E_B$ である一方、$$p^2-4p+2=-{\displaystyle \frac{7}{16}}<0$$なので $P_A<P_B$ である。従って$$\text{「}{E}_A>E_B\text{ ならば }{P}_A>P_B\text{」とはいえない。}$$