京都大学 1997年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第5問

ゲームが$r$回目で初めて終了する場合を考える。最後が「ミ」なら、それ以前の$r-1$回には「ス」と「テ」だけが現れ、スが少なくとも1回必要である。最後が「ス」の場合も対称である。

$r-1=m$とし、それ以前にテが$t$回出る列の個数は、最後の種類を2通り選ぶことも含めて$$2{}_m{\mathrm{C}}_t(0\leqq t\leqq m-1)$$である。各列の確率は$3^{-r}$で、得点は$t$である。従って期待値は$$E=\sum _{r=2}^5{\displaystyle \frac{2}{3^r}}\sum _{t=0}^{r-2}t{}_{r-1}{\mathrm{C}}_t\mathrm{.}$$一般に$$\sum _{t=0}^{m}t{}_m{\mathrm{C}}_t=m{2}^{m-1}$$であり、除くべき$t=m$の項は$m$だから$$\sum _{t=0}^{m-1}t{}_m{\mathrm{C}}_t=m(2^{m-1}-1)\mathrm{.}$$よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle E}& {\displaystyle =\sum _{r=2}^5{\displaystyle \frac{2(r-1)(2^{r-2}-1)}{3^r}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =0+{\displaystyle \frac{4}{27}}+{\displaystyle \frac{2}{9}}+{\displaystyle \frac{56}{243}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{146}{243}}\mathrm{.}}\end{array}$$5回までに終了しない列は問題の規則により得点0なので、上の和に追加する寄与はない。

あらかじめ5回分のカード列を用意したと考えると、全 $3^5=243$ 列が等確率になる。各列を、最初に「ス」と「ミ」がそろう位置まで読んで得点を決める。得点0・1・2・3の列数を表に集計し、停止時刻別の計算とは独立に期待値を求める。

試行が途中で終わっても、その後に引くはずだったカードをあらかじめ用意しておくと考える。すると長さ5の列$$3^5=243$$通りはすべて等確率である。各列を左から読み、初めて「ス」と「ミ」がともに現れたところで止め、その前までの「テ」の個数を得点とする。5文字を読んでも両方が現れなければ0点である。

全列をこの規則で分類すると$$\begin{array}{cccccc}\text{得点}& 0& 1& 2& 3& \text{合計}\\ \text{列数}& 143& 62& 30& 8& 243\end{array}$$となる。例えば3点になるには5文字目で初めて「ス」と「ミ」がそろう必要がある。5文字目を「ス」または「ミ」から選ぶ方法が2通り、最初の4文字のうち相手方の1文字を置く位置が4通りあり、残り3文字はすべて「テ」だから $2\cdot 4=8$ 列である。1点・2点も終了位置を3,4,5文字目に分けて同様に数えられる。

従って期待値は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle E}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{0\cdot 143+1\cdot 62+2\cdot 30+3\cdot 8}{243}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{146}{243}}\mathrm{.}}\end{array}$$停止時刻で排反に分けた解法1と同じ値になり、5回以内に終了しない列が0点へ含まれていることも表から確認できる。