京都大学 1996年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第4問

$t=x\mathrm{/}y>0$とおく。比の条件は$$-{\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq {\displaystyle \frac{t-1}{t+1}}\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$$であり、$t+1>0$に注意して解くと$${\displaystyle \frac{1}{3}}\leqq t\leqq 3.$$また元の不等式を$y^3>0$で割ると$$t^3-3a^{2}t+2\geqq 0.$$従ってすべての$t\in [1\mathrm{/}3,3]$で成り立つ必要十分条件は$$a^2\leqq \underset{1\mathrm{/}3\leqq t\leqq 3}{\min }{\displaystyle \frac{t^3+2}{3t}}=\underset{1\mathrm{/}3\leqq t\leqq 3}{\min }{\displaystyle \frac{1}{3}}(t^2+{\displaystyle \frac{2}{t}})\mathrm{.}$$右辺の関数の導関数は$2(t^3-1)\mathrm{/}(3t^2)$なので、$t=1$で最小値1をとる。$a\geqq 0$より求める範囲は$$0\leqq a\leqq 1.$$実際、この範囲なら上の最小値評価により元の不等式は常に成り立つ。

$t=x\mathrm{/}y$ により1変数化する。必要性は許される $t=1$ を代入する。
十分性は $a=1$ の式を因数分解し、$0\leqq a\leqq 1$ では
負の項の絶対値が小さくなることを利用する。

$t=x\mathrm{/}y$ とおくと $t>0$ である。比の条件は$$-{\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq {\displaystyle \frac{t-1}{t+1}}\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}⟺{\displaystyle \frac{1}{3}}\leqq t\leqq 3.$$また不等式を $y^3$ で割ると$$t^3-3a^{2}t+2\geqq 0.$$ここで $t=1$ は許されるから、必要条件として$$3-3a^2\geqq 0.$$$a\geqq 0$ より $a\leqq 1$ が必要である。

逆に $0\leqq a\leqq 1$ とする。$t>0$ だから$$t^3-3a^{2}t+2\geqq t^3-3t+2=(t-1{)}^2(t+2)\geqq 0.$$したがって指定された範囲のすべての $t$ で成立する。
よって求める範囲は$$0\leqq a\leqq 1.$$