京都大学 1996年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

直線 $l:x+y=0,z=0$ の方向ベクトルは $(1,-1,0)$ である。したがって，点 $A(1,0,0)$ を通り直線 $l$ に垂直な平面 $\alpha$ は $(x-1)-y=0$ すなわち $x-y=1$ である。 $t>1\mathrm{/}2$ のとき，点 $P(t,-t,0)$ について $x-y=2t>1$ であり，点 $B(0,1,0)$，$C(0,0,1)$ ではそれぞれ $x-y=-1,0$ である。よって平面 $\alpha$ は辺 $PB$，$PC$ と交わり，断面は三角形になる。

辺 $PB$ と $\alpha$ の交点を $U$ とする。辺 $PB$ 上の点は $$(1-\lambda )P+\lambda B=(t(1-\lambda ),-t(1-\lambda )+\lambda ,0)$$ と書ける。これが $x-y=1$ を満たす条件は $2t(1-\lambda )-\lambda =1$ であるから $$\lambda ={\displaystyle \frac{2t-1}{2t+1}}$$ である。したがって $$U=({\displaystyle \frac{2t}{2t+1}},-{\displaystyle \frac{1}{2t+1}},0)$$ である。

同様に，辺 $PC$ と $\alpha$ の交点を $V$ とする。辺 $PC$ 上の点は $$(1-\mu )P+\mu C=(t(1-\mu ),-t(1-\mu ),\mu )$$ であり，$x-y=1$ より $2t(1-\mu )=1$ である。よって $\mu =1-{\displaystyle \frac{1}{2t}}$ となり $$V=({\displaystyle \frac{1}{2}},-{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{2t-1}{2t}})$$ である。

したがって断面は三角形 $AUV$ である。ここで $$\overrightarrow{AU}=(-{\displaystyle \frac{1}{2t+1}},-{\displaystyle \frac{1}{2t+1}},0)$$ $$\overrightarrow{AV}=(-{\displaystyle \frac{1}{2}},-{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{2t-1}{2t}})$$ である。よって $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{AU}{\mathrm{\mid }}^2={\displaystyle \frac{2}{(2t+1{)}^2}}$$ $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{AV}{\mathrm{\mid }}^2={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{(2t-1{)}^2}{4t^2}}$$ $$\overrightarrow{AU}\cdot \overrightarrow{AV}={\displaystyle \frac{1}{2t+1}}$$ である。三角形の面積の公式から$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S(t{)}^2}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{4}}(\mathrm{\mid }\overrightarrow{AU}{\mathrm{\mid }}^2\mathrm{\mid }\overrightarrow{AV}{\mathrm{\mid }}^2-(\overrightarrow{AU}\cdot \overrightarrow{AV}{)}^2)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(2t-1{)}^2}{8t^2(2t+1{)}^2}}}\end{array}$$となる。$t>1\mathrm{/}2$ なので $$S(t)={\displaystyle \frac{2t-1}{2\sqrt{2}t(2t+1)}}$$ である。

あとは $$h(t)={\displaystyle \frac{2t-1}{t(2t+1)}}$$ を最大にすればよい。微分すると $$h^{\mathrm{\prime }}(t)={\displaystyle \frac{-(4t^2-4t-1)}{t^2(2t+1{)}^2}}$$ である。$t>1\mathrm{/}2$ において $h^{\mathrm{\prime }}(t)=0$ となるのは $$t={\displaystyle \frac{1+\sqrt{2}}{2}}$$ であり，この点で増加から減少へ変わる。したがって最大値は $$S\left({\displaystyle \frac{1+\sqrt{2}}{2}}\right)={\displaystyle \frac{3\sqrt{2}}{2}}-2$$ である。

断面の頂点を辺 $PB,PC$ 上の内分点として求めるところまでは座標で行う。
面積を簡単な有理式にした後、$u=2t-1>0$ と置き、
相加相乗平均で微分せずに最大値を決める。

$l$ の方向ベクトルは $(1,-1,0)$ だから$$\alpha :x-y=1.$$$t>1\mathrm{/}2$ では $P$ と $B,C$ が $\alpha$ の反対側にあるので、
断面は $A$ と辺 $PB,PC$ 上の点 $U,V$ を頂点とする三角形である。

辺を内分表示して $x-y=1$ を代入すると$$U=({\displaystyle \frac{2t}{2t+1}},-{\displaystyle \frac{1}{2t+1}},0),$$$$V=({\displaystyle \frac{1}{2}},-{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{2t-1}{2t}})\mathrm{.}$$よって$$\overrightarrow{AU}=(-{\displaystyle \frac{1}{2t+1}},-{\displaystyle \frac{1}{2t+1}},0),$$$$\overrightarrow{AV}=(-{\displaystyle \frac{1}{2}},-{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{2t-1}{2t}})\mathrm{.}$$内積による面積公式から$$S(t)={\displaystyle \frac{2t-1}{2\sqrt{2}t(2t+1)}}\mathrm{.}$$$u=2t-1>0$ とおくと$$S(t)={\displaystyle \frac{u}{\sqrt{2}(u+1)(u+2)}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}(u+3+{\displaystyle \frac{2}{u}})}}\mathrm{.}$$相加相乗平均より$$u+{\displaystyle \frac{2}{u}}\geqq 2\sqrt{2},$$等号は $u=\sqrt{2}$ で成り立つ。したがって$$S_{\max }={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}(3+2\sqrt{2})}}={\displaystyle \frac{3\sqrt{2}}{2}}-2.$$