京都大学 1998年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

$O$ を原点とし、$$\overrightarrow{OA}=\vec{a},\overrightarrow{OB}=\vec{b},\overrightarrow{OC}=\vec{c}$$とおく。四面体であるから、$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ は同一平面上にない3つの方向を表し、係数比較ができる。

点 $P,Q,R,S$ はそれぞれ辺 $OA,AB,BC,CO$ 上にあるので、適当な実数 $s,t,u,v$ を用いて $0\leqq s,t,u,v\leqq 1$ かつ $$\overrightarrow{OP}=s\vec{a},$$ $$\overrightarrow{OQ}=(1-t)\vec{a}+t\vec{b},$$ $$\overrightarrow{OR}=(1-u)\vec{b}+u\vec{c},$$ $$\overrightarrow{OS}=(1-v)\vec{c}$$ と書ける。 $PQRS$ が平行四辺形であるから、その2本の対角線 $PR$ と $QS$ は互いに中点で交わる。したがって$$\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OR}=\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{OS}$$である。これに上の表示を代入すると $$s\vec{a}+(1-u)\vec{b}+u\vec{c}=(1-t)\vec{a}+t\vec{b}+(1-v)\vec{c}$$ である。$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ の係数を比較して $$s=1-t,1-u=t,u=1-v$$ を得る。特に、最初の2式から $s=u$ である。

対角線の交点を $X$ とする。$X$ は $PR$ の中点でもあるから$$\overrightarrow{OX}={\displaystyle \frac{1}{2}}(\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OR})$$である。$u=s$ を用いると $$\overrightarrow{OX}={\displaystyle \frac{1}{2}}\{s\vec{a}+(1-s)\vec{b}+s\vec{c}\}$$ $$=(1-s){\displaystyle \frac{\vec{b}}{2}}+s{\displaystyle \frac{\vec{a}+\vec{c}}{2}}$$ である。

ここで $\vec{b}\mathrm{/}2$ は線分 $OB$ の中点の位置ベクトルであり、$(\vec{a}+\vec{c})\mathrm{/}2$ は線分 $AC$ の中点の位置ベクトルである。また $0\leqq s\leqq 1$ なので、上の式は $X$ がこの2つの中点を結ぶ線分上の点であることを示している。よって題意は示された。

各辺上の内分比を置き、平行四辺形の2組の平行条件をベクトル差で比較する。4つの比が1つのパラメータにまとまることから、中心を2つの中点の内分点として表す。

$P,Q,R,S$ が辺を進む割合をそれぞれ $p,q,r,s$ とし、$$\overrightarrow{OP}=p\vec{a},\overrightarrow{OQ}=(1-q)\vec{a}+q\vec{b},$$$$\overrightarrow{OR}=(1-r)\vec{b}+r\vec{c},\overrightarrow{OS}=(1-s)\vec{c}$$とおく。ただし $0\leqq p,q,r,s\leqq 1$ である。

平行四辺形の向かい合う辺は平行で長さも等しいから$$\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{SR},\overrightarrow{QR}=\overrightarrow{PS}\mathrm{.}$$第1式の $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ の係数を比較すると$$1-q-p=0,q=1-r,r=1-s\mathrm{.}$$特に$$p=r\mathrm{.}$$対角線の交点 $X$ は $PR$ の中点なので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \overrightarrow{OX}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}\{\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OR}\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}\{p\vec{a}+(1-p)\vec{b}+p\vec{c}\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(1-p){\displaystyle \frac{\vec{b}}{2}}+p{\displaystyle \frac{\vec{a}+\vec{c}}{2}}\mathrm{.}}\end{array}$$$\vec{b}\mathrm{/}2$ は $OB$ の中点、$(\vec{a}+\vec{c})\mathrm{/}2$ は $AC$ の中点である。$0\leqq p\leqq 1$ だから、$X$ はこの2中点を結ぶ線分上にある。