京都大学 1996年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

円を回転して座標軸を取り直しても，内積，長さ，周回回数は変わらない。そこで $$\overrightarrow{OA}=(1,0)$$ としてよい。円 $C$ 上の点 $X$ を $$\overrightarrow{OX}=(\cos \theta ,\sin \theta )$$ とおく。

このとき $$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OX}=\cos \theta$$ であるから，定義式より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \overrightarrow{OY}}& {\displaystyle =(1,0)-2\cos \theta (\cos \theta ,\sin \theta )}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(1-2{\cos }^2\theta ,-2\sin \theta \cos \theta )}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(-\cos 2\theta ,-\sin 2\theta )}\end{array}$$である。

(1)

上の表示から $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{OY}{\mathrm{\mid }}^2={\cos }^{2}2\theta +{\sin }^{2}2\theta =1$$ である。よって $\mathrm{\mid }\overrightarrow{OY}\mathrm{\mid }=1$ である。

(2) $$\overrightarrow{OY}=-\overrightarrow{OA}=(-1,0)$$ となるための条件は $$-\cos 2\theta =-1,-\sin 2\theta =0$$ すなわち $$\cos 2\theta =1,\sin 2\theta =0$$ である。したがって $2\theta \equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2\pi )$ より，円周上の点としては $\theta =0,\pi$ である。よって求める点 $X$ は，点 $A$ と，点 $A$ の対蹠点である。

(3) $$\overrightarrow{OY}=(-\cos 2\theta ,-\sin 2\theta )=(\cos (2\theta +\pi ),\sin (2\theta +\pi ))$$である。点 $X$ が円 $C$ を1回まわるとき，$\theta$ は長さ $2\pi$ だけ増える。このとき $Y$ の偏角 $2\theta +\pi$ は長さ $4\pi$ だけ増える。したがって点 $Y$ は同じ円 $C$ を2回まわる。

定義式を、$\overrightarrow{OA}$ の $\overrightarrow{OX}$ 方向成分だけを反転する線形変換と読む。
平行成分と垂直成分に分解すれば長さが保存される。(2)は反転後が
$-\overrightarrow{OA}$ になる反転軸を決め、(3)は反転軸の方向角が
$\theta$ 進むと像の方向角が $2\theta$ 進むことを幾何的に追う。

$$\mathit{a}=\overrightarrow{OA}$$，$$\mathit{u}=\overrightarrow{OX}$$ とおく。$$\mathrm{\mid }\mathit{a}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\mathit{u}\mathrm{\mid }=1$$ である。
$\mathit{a}$ を $\mathit{u}$ に平行な成分と垂直な成分に分けて$$\mathit{a}=(\mathit{a}\cdot \mathit{u})\mathit{u}\{\mathit{a}-(\mathit{a}\cdot \mathit{u})\mathit{u}\}$$と書く。定義されたベクトルは$$\overrightarrow{OY}=-(\mathit{a}\cdot \mathit{u})\mathit{u}\{\mathit{a}-(\mathit{a}\cdot \mathit{u})\mathit{u}\}$$であり、平行成分の符号だけを変えたものである。

(1)

2成分は直交するから$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{OY}{\mathrm{\mid }}^2=(\mathit{a}\cdot \mathit{u}{)}^2\mathrm{\mid }\mathit{a}-(\mathit{a}\cdot \mathit{u})\mathit{u}{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }\mathit{a}{\mathrm{\mid }}^2=1.$$(2)$$\overrightarrow{OY}=-\mathit{a}$$ なら、定義式から$$\mathit{a}=(\mathit{a}\cdot \mathit{u})\mathit{u}\mathrm{.}$$よって $\mathit{a}$ と $\mathit{u}$ は平行である。
単位ベクトルであることから$$\mathit{u}=\mathit{a}\text{または}\mathit{u}=-\mathit{a}\mathrm{.}$$逆にどちらも定義式を満たす。したがって $X$ は $A$ またはその対蹠点である。

(3)

上の変換は、$\mathit{u}$ に垂直な直線に関する鏡映である。
$OA$ の方向角を $\alpha$、$OX$ の方向角を $\theta$ とすると、
鏡映軸の方向角は $\theta +\pi \mathrm{/}2$ なので像の方向角は$$2(\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{2}})-\alpha =2\theta +\pi -\alpha \mathrm{.}$$$\theta$ が $2\pi$ 増える間にこの角は $4\pi$ 増える。
よって $Y$ は円を同じ向きに2周する。