京都大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

$u=b,v=a+b$ とおく。すると$ax+b$は、$x=0$で$u$、$x=1$で$v$をとる一次式である。逆に、任意の実数$u,v$に対して$b=u$, $a=v-u$とすればよいので、$u,v$で考えても一般性を失わない。

一次式の絶対値の最大は端点で起こるから $M(a,b)=\max (u^2,v^2)$ である。また $ax+b=(1-x)u+xv$ より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^1(ax+b{)}^{2}dx}& {\displaystyle ={\int }_0^1\{(1-x)u+xv{\}}^{2}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =u^2{\int }_0^1(1-x{)}^{2}dx+2uv{\int }_0^{1}x(1-x)dx+v^2{\int }_0^1{x}^{2}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{u^2+uv+v^2}{3}}\mathrm{.}}\end{array}$$ $(u,v)=(0,0)$のときは両辺とも0なので問題ない。以下、$(u,v)\mathrm{\ne }(0,0)$とする。 $v^2\geqq u^2$の場合を考える。$v\mathrm{\ne }0$であり、$t=u\mathrm{/}v$とおくと $-1\leqq t\leqq 1$ である。このとき$${\displaystyle \frac{M(a,b)}{{\displaystyle {\int }_0^1(ax+b{)}^{2}dx}}}={\displaystyle \frac{v^2}{(u^2+uv+v^2)\mathrm{/}3}}={\displaystyle \frac{3}{t^2+t+1}}$$である。$-1\leqq t\leqq 1$において $$t^2+t+1={(t+{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2+{\displaystyle \frac{3}{4}}$$ だから、最小値は$3\mathrm{/}4$である。よってこの場合の比の最大値は ${\displaystyle \frac{3}{3\mathrm{/}4}}=4$ である。 $u^2\geqq v^2$の場合も、$u$と$v$を入れ替えれば同じ議論により比の最大値は4である。したがって、すべての$a,b$について $$M(a,b)\leqq 4{\int }_0^1(ax+b{)}^{2}dx$$ が成り立つ。

一方、例えば$v=1$, $u=-1\mathrm{/}2$とすると、$v^2\geqq u^2$かつ$t=-1\mathrm{/}2$であり、上の比はちょうど4になる。したがって$m$を4より小さくすることはできない。求める最小値は $m=4$ である。

一次式の端点値を $u=b,v=a+b$ と置く。積分値を端点値で表した後、最大値が $v^2$ の場合と $u^2$ の場合に分け、$4$倍した積分との差を完全平方へ直す。等号を実現する端点値も同時に読み取り、最良定数であることを一度に示す。

端点値を$$u=b,v=a+b$$と置く。このとき$$M(a,b)=\max (u^2,v^2)$$であり、$$\begin{array}{cccc}& {\int }_0^1(ax+b{)}^{2}dx={\displaystyle \frac{u^2+uv+v^2}{3}}\mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$まず $M(a,b)=v^2$ の場合、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 4{\int }_0^1(ax+b{)}^{2}dx-M(a,b)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{4u^2+4uv+v^2}{3}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(2u+v{)}^2}{3}}\geqq 0.}\end{array}$$$M(a,b)=u^2$ の場合も$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 4{\int }_0^1(ax+b{)}^{2}dx-M(a,b)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{u^2+4uv+4v^2}{3}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(u+2v{)}^2}{3}}\geqq 0.}\end{array}$$従ってすべての $a,b$ に対して$$M(a,b)\leqq 4{\int }_0^1(ax+b{)}^{2}dx$$が成り立つ。

一方、$$v=1,u=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$$と取れば $M=1$ で、(1)の積分値は $1\mathrm{/}4$ となる。従って比はちょうど4であり、4より小さい定数では不等式が成り立たない。よって最小の $m$ は$$m=4.$$