京都大学 1998年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第2問

(1)
距離の二乗は$$B{X}^2=t^2+(t^2-b{)}^2$$である。$u=t^2\geqq 0$とおくと$$B{X}^2=u+(u-b{)}^2={(u-b+{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2+b-{\displaystyle \frac{1}{4}}\mathrm{.}$$従って$0<b\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$では頂点$u=b-{\displaystyle \frac{1}{2}}$が範囲外なので$u=0$で最小となり、最小値は$b$である。$b\geqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$では$u=b-{\displaystyle \frac{1}{2}}$で最小となり、最小値は$\sqrt{b-{\displaystyle \frac{1}{4}}}$である。よって$$\min BX=\{\begin{array}{ll}b& (0<b\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}),\\ \sqrt{b-{\displaystyle \frac{1}{4}}}& (b\geqq {\displaystyle \frac{1}{2}})\mathrm{.}\end{array}$$(2)
最小値が1となるのは第2の場合で$$b-{\displaystyle \frac{1}{4}}=1,b={\displaystyle \frac{5}{4}}$$のときである。等号条件$t^2=b-{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$より$$P({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},{\displaystyle \frac{3}{4}}),Q(-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},{\displaystyle \frac{3}{4}})$$を得る。放物線の点$(t,t^2)$における接線の傾きは$2t$である。一方、半径$B(t,t^2)$の傾きは$${\displaystyle \frac{t^2-{\displaystyle \frac{5}{4}}}{t}}={\displaystyle \frac{-{\displaystyle \frac{1}{2}}}{t}}=-{\displaystyle \frac{1}{2t}}$$であるから、両者の傾きの積は$-1$である。従って$P,Q$で円と放物線は共通の接線を持つ。

また$$\overrightarrow{BP}=({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},-{\displaystyle \frac{1}{2}}),\overrightarrow{BQ}=(-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},-{\displaystyle \frac{1}{2}})$$で、両ベクトルの長さは1、内積は$-{\displaystyle \frac{1}{2}}$である。従って$$\cos \mathrm{\angle }PBQ=-{\displaystyle \frac{1}{2}},\mathrm{\angle }PBQ={120}^{\circ }\mathrm{.}$$対応する小さい方の円弧は円$$x^2+{(y-{\displaystyle \frac{5}{4}})}^2=1$$の下側であり、$$y={\displaystyle \frac{5}{4}}-\sqrt{1-x^2}$$と表される。$$-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$$でこの円弧は放物線の上にある。求める面積$S$は$$S={\int }_{-\sqrt{3}\mathrm{/}2}^{\sqrt{3}\mathrm{/}2}({\displaystyle \frac{5}{4}}-\sqrt{1-x^2}-x^2)dx\mathrm{.}$$ここで$${\int }_{-\sqrt{3}\mathrm{/}2}^{\sqrt{3}\mathrm{/}2}\sqrt{1-x^2}dx={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}+{\displaystyle \frac{\pi }{3}},{\int }_{-\sqrt{3}\mathrm{/}2}^{\sqrt{3}\mathrm{/}2}{x}^{2}dx={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}$$だから$$S={\displaystyle \frac{5\sqrt{3}}{4}}-({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}+{\displaystyle \frac{\pi }{3}})-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}={\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{4}}-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}\mathrm{.}$$

距離の二乗を $t$ で直接微分して最小点を分類する。接点では半径と接線の直交を用い、囲まれた面積は円の扇形・三角形と放物線下の面積に分けて求める。

(1) $$D(t)=B{X}^2=t^2+(t^2-b{)}^2$$とおく。微分すると$$D^{\mathrm{\prime }}(t)=2t\{1+2(t^2-b)\}=2t(2t^2-2b+1)\mathrm{.}$$$0<b\leqq 1\mathrm{/}2$ では $2t^2-2b+1\geqq 0$ だから、最小は $t=0$ で$$\min BX=b\mathrm{.}$$$b>1\mathrm{/}2$ では $$t=\pm \sqrt{b-1\mathrm{/}2}$$ で最小となり、$$\min BX=\sqrt{b-{\displaystyle \frac{1}{4}}}\mathrm{.}$$従って$$\min BX=\{\begin{array}{ll}b& (0<b\leqq 1\mathrm{/}2),\\ \sqrt{b-1\mathrm{/}4}& (b\geqq 1\mathrm{/}2)\mathrm{.}\end{array}$$(2)
最小値が1となるのは$$b={\displaystyle \frac{5}{4}}$$であり、接点は$$P({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},{\displaystyle \frac{3}{4}}),Q(-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},{\displaystyle \frac{3}{4}})\mathrm{.}$$半径 $BP,BQ$ と放物線の接線の傾きの積はいずれも $-1$ なので、円と放物線はこの2点で接する。$$\overrightarrow{BP}\cdot \overrightarrow{BQ}=-{\displaystyle \frac{1}{2}},\mathrm{\mid }BP\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }BQ\mathrm{\mid }=1$$より$$\mathrm{\angle }PBQ={120}^{\circ }\mathrm{.}$$円弧 $PQ$ と弦 $PQ$ の間の円弓形は、半径1、中心角 $2\pi \mathrm{/}3$ の扇形から三角形 $BPQ$ を引いたものなので$${\displaystyle \frac{\pi }{3}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}\mathrm{.}$$一方、弦 $y=3\mathrm{/}4$ と放物線で囲まれる面積は$${\int }_{-\sqrt{3}\mathrm{/}2}^{\sqrt{3}\mathrm{/}2}({\displaystyle \frac{3}{4}}-x^2)dx={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\mathrm{.}$$求める領域は後者から円弓形を引いたものだから$$S={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}-({\displaystyle \frac{\pi }{3}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}})={\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{4}}-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}\mathrm{.}$$