京都大学 1997年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第4問

$A+B+C={180}^{\circ }$だから$$\sin 2A=-\sin (2B+2C)$$である。恒等式$${\sin }^2(X+Y)-{\sin }^{2}X-{\sin }^{2}Y=2\sin X\sin Y\cos (X+Y)$$に$X=2B,Y=2C$を代入すると$${\alpha }^2-{\beta }^2-{\gamma }^2=2\sin 2B\sin 2C\cos (2B+2C)=2\sin 2B\sin 2C\cos 2A\mathrm{.}$$従って$${\alpha }^2={\beta }^2+{\gamma }^2$$であるための必要十分条件は$$\sin 2B=0,\sin 2C=0,\cos 2A=0$$の少なくとも1つが成り立つことである。

三角形の内角は0度より大きく180度より小さいので$$\sin 2B=0⟺B={90}^{\circ },\sin 2C=0⟺C={90}^{\circ }\mathrm{.}$$また$$\cos 2A=0⟺A={45}^{\circ }\text{ または }{135}^{\circ }\mathrm{.}$$従って2条件は互いに同値である。

条件の左辺を $({\alpha }^2-{\beta }^2)-{\gamma }^2$ と見て、平方差を積へ直す。$A+B+C={180}^{\circ }$ を用いて和差公式を順に適用すると、主解法とは異なる経路で同じ3因子 $\sin 2B,\sin 2C,\cos 2A$ が現れる。内角範囲から各因子の零点を角条件へ戻す。

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\alpha }^2-{\beta }^2-{\gamma }^2}& {\displaystyle =(\sin 2A-\sin 2B)(\sin 2A+\sin 2B)-{\sin }^{2}2C\mathrm{.}}\end{array}$$和積公式と $A+B={180}^{\circ }-C$ を使うと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sin 2A-\sin 2B}& {\displaystyle =2\cos (A+B)\sin (A-B),}\\ {\displaystyle \sin 2A+\sin 2B}& {\displaystyle =2\sin (A+B)\cos (A-B)\mathrm{.}}\end{array}$$従って積は$$4\cos (A+B)\sin (A+B)\sin (A-B)\cos (A-B)=\sin 2(A+B)\sin 2(A-B)\mathrm{.}$$$2(A+B)={360}^{\circ }-2C$ だから、さらに整理すると$${\alpha }^2-{\beta }^2-{\gamma }^2=2\sin 2B\sin 2C\cos 2A\mathrm{.}$$従って与えられた平方条件は$$\sin 2B\sin 2C\cos 2A=0$$と同値である。

三角形の内角は $0^{\circ }$ と ${180}^{\circ }$ の間にあるから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sin 2B=0}& {\displaystyle ⟺B={90}^{\circ },}\\ {\displaystyle \sin 2C=0}& {\displaystyle ⟺C={90}^{\circ },}\\ {\displaystyle \cos 2A=0}& {\displaystyle ⟺A={45}^{\circ }\text{ または }{135}^{\circ }\mathrm{.}}\end{array}$$よって問題の2条件は互いに同値である。