京都大学 1998年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1)
色を行、番号を列とする $3\times 3$ の表で考える。取り出した玉は表の中の3つのマスに対応する。ある玉が得点になるのは、そのマスと同じ行にも同じ列にも、他に選ばれたマスがないときである。

全体の取り出し方は ${}_9{\mathrm{C}}_3=84$ 通りである。

まず得点が3になる場合を数える。これは3つのマスがすべて異なる行、かつすべて異なる列にある場合である。3つの行をすべて使い、それぞれに異なる列を対応させればよいから $A(3)=3!=6$ である。

次に得点が2になる場合は存在しないことを示す。もし2つのマスが得点になっているなら、その2つは互いに行も列も異なる。残り1つのマスは、得点になっている2つのマスの行と列を避けなければ、そのどちらかの得点性を壊してしまう。$3\times 3$ の表では、2つの行と2つの列を避けると残るマスはただ1つであり、そのマスもまた同じ行・同じ列に他の選択マスを持たない。したがって3つとも得点になる。よって $A(2)=0$ である。

得点が1になる場合を数える。得点になるマスを先に選ぶと、選び方は9通りである。そのマスの行と列を除くと、残りは $2\times 2$ の4マスである。得点になるマスを本当に1個だけにするには、残り2マスが互いに同じ行または同じ列にある必要がある。$2\times 2$ の4マスから2マスを選ぶ方法は ${}_4{\mathrm{C}}_2=6$ 通りで、そのうち対角線上の2通りは互いに行も列も異なるので、残りの4通りが条件を満たす。したがって $A(1)=9\cdot 4=36$ である。

よって $$A(0)=84-A(1)-A(2)-A(3)=84-36-0-6=42$$ である。以上より $$A(0)=42,A(1)=36,A(2)=0,A(3)=6$$ である。

(2)
得点の期待値は $${\displaystyle \frac{0\cdot 42+1\cdot 36+2\cdot 0+3\cdot 6}{84}}={\displaystyle \frac{54}{84}}={\displaystyle \frac{9}{14}}$$ である。

色を行、番号を列とする $3\times 3$ 表の選択図形を、行・列の占有型で分類する。得点3・2・1を順に決めて残りを得点0とし、期待値は各マスの得点指標の和でも独立に求める。

(1)
色を行、番号を列とする $3\times 3$ の表を考える。

得点3は、3行・3列から1マスずつ選ぶ場合である。第1行から順に列を割り当てる方法が $3!=6$ 通りなので$$A(3)=6.$$得点2は起こらない。2個がそれぞれ孤立しているなら、その2個が使わない残り1行・1列の交点に第3のマスを置く以外に、2個の孤立性を保つ方法はない。この第3のマスも孤立するから、得点は3になる。

得点1では、唯一の孤立マスを選ぶ方法が9通りある。その行と列を除いた $2\times 2$ 表で、残り2マスは同じ行または同じ列になければならない。この選び方は、2行それぞれの横の組と2列それぞれの縦の組の計4通りである。孤立マスは一意なので重複はなく、$$A(1)=9\cdot 4=36.$$全体は ${}_9{\mathrm{C}}_3=84$ 通りだから$$A(0)=84-6-36=42.$$従って$$(A(0),A(1),A(2),A(3))=(42,36,0,6)\mathrm{.}$$(2)
各マスについて、その玉が得点になるとき1、そうでないとき0となる量を考える。特定の玉が得点になる取り出し方は、その玉と行も列も異なる4個から残り2個を選ぶ$${}_4{\mathrm{C}}_2=6$$通りである。従ってその玉の得点への寄与の期待値は $6\mathrm{/}84=1\mathrm{/}14$ である。9個分を加えて$$E={\displaystyle \frac{9}{14}}\mathrm{.}$$