京都大学 2001年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

$$T_k=S-a_k(k=1,2,\dots ,n)$$ とおく。仮定より $-1<T_k<1$ である。

また$$\sum _{k=1}^n{T}_k=\sum _{k=1}^n(S-a_k)=nS-S=(n-1)S$$であるから $$S={\displaystyle \frac{T_1+T_2+\cdots +T_n}{n-1}}$$ である。

さらに $$a_1\leqq a_2\leqq \cdots \leqq a_n$$ より、$T_k=S-a_k$ は逆順に並ぶので $$T_1\geqq T_2\geqq \cdots \geqq T_n$$ である。

まず最大の項 $a_n$ を評価する。$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a_n}& {\displaystyle =S-T_n}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{T_1+\cdots +T_n}{n-1}}-T_n}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{T_1+\cdots +T_{n-1}-(n-2)T_n}{n-1}}\mathrm{.}}\end{array}$$ここで $T_1,\dots ,T_{n-1}<1$ であり、また $T_n>-1$ だから $-T_n<1$ である。したがって $$T_1+\cdots +T_{n-1}-(n-2)T_n<(n-1)+(n-2)=2n-3$$ となる。よって $$a_n<{\displaystyle \frac{2n-3}{n-1}}<2$$ である。

次に最小の項 $a_1$ を評価する。$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a_1}& {\displaystyle =S-T_1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{T_2+\cdots +T_n-(n-2)T_1}{n-1}}\mathrm{.}}\end{array}$$ここで $T_2,\dots ,T_n>-1$ であり、また $T_1<1$ だから $-(n-2)T_1>-(n-2)$ である。したがって $$T_2+\cdots +T_n-(n-2)T_1>-(n-1)-(n-2)=-(2n-3)$$ となる。よって $$a_1>-{\displaystyle \frac{2n-3}{n-1}}>-2$$ である。

以上から、任意の $k$ について $$-2<a_1\leqq a_k\leqq a_n<2$$ である。したがって $$\mathrm{\mid }{a}_k\mathrm{\mid }<2(k=1,2,\dots ,n)$$ が成り立つ。

仮定を「各項を1つ除いた和が $(-1,1)$ に入る」と読む。
最小項を除いた和と最大項を除いた和の差から
$a_n-a_1<2$ を得る。
端の項の符号で分けると、上下の評価が短く示せる。

仮定は、すべての $k$ に対して$$-1<\sum _{j\mathrm{\ne }k}{a}_j<1$$ということである。特に、最小項 $a_1$ を除いた和と
最大項 $a_n$ を除いた和を比較すると$$\sum _{j=2}^n{a}_j<1,\sum _{j=1}^{n-1}{a}_j>-1.$$両式の差から$$a_n-a_1<2$$を得る。

まず $a_1\leqq 0$ なら$$a_n<a_1+2\leqq 2.$$$a_1>0$ なら全項が正であり、$$\sum _{j=2}^n{a}_j<1$$に $a_n$ が含まれるので $a_n<1<2$ である。
したがって常に $a_n<2$ である。

次に $a_n\geqq 0$ なら$$a_1>a_n-2\geqq -2.$$$a_n<0$ なら全項が負であり、$$\sum _{j=1}^{n-1}{a}_j>-1$$に $a_1$ が含まれる。
他の項も負だから$$a_1>\sum _{j=1}^{n-1}{a}_j>-1>-2.$$よって常に $a_1>-2$ である。

以上より$$-2<a_1\leqq a_k\leqq a_n<2$$だから、すべての $k$ について $\mathrm{\mid }{a}_k\mathrm{\mid }<2$ が成り立つ。