京都大学 1998年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

点 $A(a,a^2)$、$B(b,b^2)$ を通る直線の傾きは $${\displaystyle \frac{b^2-a^2}{b-a}}=a+b$$ である。したがって直線 $AB$ の方程式は $y-a^2=(a+b)(x-a)$ すなわち $y=(a+b)x-ab$ である。 $a\leqq x\leqq b$ では、直線 $AB$ と放物線 $y=x^2$ の縦方向の差は $$(a+b)x-ab-x^2=(x-a)(b-x)$$ である。よって、線分 $AB$ と放物線で囲まれた図形の面積は $$s={\int }_a^b(x-a)(b-x)dx$$ である。$u=x-a$ とおくと $b-x=(b-a)-u$ なので $$s={\int }_0^{b-a}u\{(b-a)-u\}du$$ $$={[{\displaystyle \frac{(b-a)u^2}{2}}-{\displaystyle \frac{u^3}{3}}]}_0^{b-a}={\displaystyle \frac{(b-a{)}^3}{6}}$$である。

次に点 $P(t,t^2)$ をとる。直線 $AB$ と点 $P$ との縦方向の差は $$(a+b)t-ab-t^2=(t-a)(b-t)$$ である。直線 $AB$ の傾きは $a+b$ だから、点 $P$ から直線 $AB$ までの距離は ${\displaystyle \frac{(t-a)(b-t)}{\sqrt{1+(a+b{)}^2}}}$ である。また $$AB=(b-a)\sqrt{1+(a+b{)}^2}$$ である。したがって三角形 $ABP$ の面積は$$S(P)={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot (b-a)\sqrt{1+(a+b{)}^2}\cdot {\displaystyle \frac{(t-a)(b-t)}{\sqrt{1+(a+b{)}^2}}}$$すなわち $$S(P)={\displaystyle \frac{1}{2}}(b-a)(t-a)(b-t)$$ である。 $a<t<b$ において、積 $(t-a)(b-t)$ は $$(t-a)(b-t)=-{(t-{\displaystyle \frac{a+b}{2}})}^2+{\displaystyle \frac{(b-a{)}^2}{4}}$$ と書けるので、$t=(a+b)\mathrm{/}2$ のとき最大値 $(b-a{)}^2\mathrm{/}4$ をとる。よって $$S={\displaystyle \frac{1}{2}}(b-a)\cdot {\displaystyle \frac{(b-a{)}^2}{4}}={\displaystyle \frac{(b-a{)}^3}{8}}$$ である。

したがって $$s:S={\displaystyle \frac{(b-a{)}^3}{6}}:{\displaystyle \frac{(b-a{)}^3}{8}}=4:3$$ である。

区間を $u=(x-a)\mathrm{/}(b-a)$ で長さ1へ正規化する。放物線と弦の差は $(b-a{)}^{2}u(1-u)$ となり、弓形面積と最大三角形面積の共通倍率を消して比だけを求める。

$L=b-a>0$ とし、$$u={\displaystyle \frac{x-a}{L}}$$とおく。弦 $AB$ と放物線の縦の差は$$(x-a)(b-x)=L^{2}u(1-u)\mathrm{.}$$また $dx=Ldu$ だから、弓形の面積は$$s=L^3{\int }_0^{1}u(1-u)du={\displaystyle \frac{L^3}{6}}\mathrm{.}$$点 $P$ に対応する値を $u$ とすると、三角形 $ABP$ の面積は、弦の長さと垂直距離の傾き因子が打ち消し合うので$$S(P)={\displaystyle \frac{L}{2}}\cdot L^{2}u(1-u)={\displaystyle \frac{L^3}{2}}u(1-u)\mathrm{.}$$$$u(1-u)={\displaystyle \frac{1}{4}}-{(u-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2$$より最大値は $1\mathrm{/}4$ である。従って$$S={\displaystyle \frac{L^3}{8}}\mathrm{.}$$よって$$s:S={\displaystyle \frac{1}{6}}:{\displaystyle \frac{1}{8}}=4:3.$$