京都大学 1999年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)
示すべき不等式の左辺から右辺を引く。すると$${\displaystyle \frac{b_1^2}{a_0^2+1}}+{\displaystyle \frac{a_1^2}{b_0^2+1}}-{\displaystyle \frac{a_1^2}{a_0^2+1}}-{\displaystyle \frac{b_1^2}{b_0^2+1}}$$ $$={\displaystyle \frac{b_1^2-a_1^2}{a_0^2+1}}-{\displaystyle \frac{b_1^2-a_1^2}{b_0^2+1}}$$ $$=(b_1^2-a_1^2)({\displaystyle \frac{1}{a_0^2+1}}-{\displaystyle \frac{1}{b_0^2+1}})$$ である。$a_1<b_1$ かつ正の実数だから $b_1^2-a_1^2>0$ である。また $a_0<b_0$ かつ正の実数だから $a_0^2+1<b_0^2+1$ であり、したがって $${\displaystyle \frac{1}{a_0^2+1}}-{\displaystyle \frac{1}{b_0^2+1}}>0$$ である。よって差は正であり、求める不等式が成り立つ。

(2) $x_1,x_2,\dots ,x_n$ は互いに相異なり、しかもすべて $1$ 以上 $n$ 以下の自然数である。したがって、これらは $1,2,\dots ,n$ の並べ替えである。

和$$S=\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{x_k^2}{k^2+1}}$$を考える。もし $i<j$ なのに $x_i>x_j$ となっている箇所があれば、$a_0=i$, $b_0=j$, $a_1=x_j$, $b_1=x_i$ として(1)を適用できる。すると$${\displaystyle \frac{x_i^2}{i^2+1}}+{\displaystyle \frac{x_j^2}{j^2+1}}>{\displaystyle \frac{x_j^2}{i^2+1}}+{\displaystyle \frac{x_i^2}{j^2+1}}$$である。つまり、反転している2つを入れ替えると、和 $S$ は小さくなる。

この操作を反転がなくなるまで繰り返すと、最終的には $$x_k=k(1\leqq k\leqq n)$$ となる。したがって任意の並べ替えに対して$$S\geqq \sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{k^2}{k^2+1}}$$である。右辺は$$\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{k^2}{k^2+1}}=\sum _{k=1}^n(1-{\displaystyle \frac{1}{k^2+1}})=n-\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{k^2+1}}$$である。

あとは$$\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{k^2+1}}<{\displaystyle \frac{8}{5}}$$を示せばよい。$k=1,2$ の項は $${\displaystyle \frac{1}{1^2+1}}+{\displaystyle \frac{1}{2^2+1}}={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{5}}$$ である。$k\geqq 3$ では $k^2+1>k(k-1)$ だから $${\displaystyle \frac{1}{k^2+1}}<{\displaystyle \frac{1}{k(k-1)}}={\displaystyle \frac{1}{k-1}}-{\displaystyle \frac{1}{k}}$$ である。よって $n\geqq 3$ のとき$$\sum _{k=3}^n{\displaystyle \frac{1}{k^2+1}}<\sum _{k=3}^n({\displaystyle \frac{1}{k-1}}-{\displaystyle \frac{1}{k}})={\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{n}}<{\displaystyle \frac{1}{2}}$$である。$n=1,2$ の場合はこの尾部がないので、以下の評価はさらに明らかに成り立つ。

したがってすべての $n$ について$$\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{k^2+1}}<{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{5}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{6}{5}}<{\displaystyle \frac{8}{5}}$$である。以上より$$S\geqq n-\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{k^2+1}}>n-{\displaystyle \frac{8}{5}}$$となる。すなわち$$\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{x_k^2}{k^2+1}}>n-{\displaystyle \frac{8}{5}}$$である。

(1) の交換則を帰納的に使い、値 $n$ を第 $n$ 項へ移すと和が増えないことから最小配置を構成する。残る逆数和は $1\mathrm{/}(k^2-1)$ との比較で2項ずつ望遠的に消し、必要な定数より強い評価を得る。

(1)
左辺から右辺を引くと$$(b_1^2-a_1^2)({\displaystyle \frac{1}{a_0^2+1}}-{\displaystyle \frac{1}{b_0^2+1}})>0$$である。両因子が正なので不等式が従う。

(2)
$x_1,\dots ,x_n$ は $1,\dots ,n$ の順列である。値 $n$ が位置 $j<n$ にあるとし、位置 $n$ の値を $r<n$ とする。(1)を $a_0=j,b_0=n,a_1=r,b_1=n$ に適用すると、$n,r$ を交換した方が$$\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{x_k^2}{k^2+1}}$$は小さくなる。これを繰り返して $x_n=n$ とし、同じ操作を $n-1,n-2,\dots$ に施すと$$\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{x_k^2}{k^2+1}}\geqq \sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{k^2}{k^2+1}}=n-\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{k^2+1}}\mathrm{.}$$$k\geqq 2$ では$${\displaystyle \frac{1}{k^2+1}}<{\displaystyle \frac{1}{k^2-1}}={\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{1}{k-1}}-{\displaystyle \frac{1}{k+1}})\mathrm{.}$$従って$$\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{k^2+1}}<{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{5}{4}}<{\displaystyle \frac{8}{5}}\mathrm{.}$$よって$$\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{x_k^2}{k^2+1}}>n-{\displaystyle \frac{8}{5}}\mathrm{.}$$