京都大学 1999年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

2点を $P(p,p^2),Q(q,q^2)$ とおく。2点の順序を入れ替えても線分 $PQ$ は同じなので、$p<q$ としてよい。

直線 $PQ$ の傾きは $${\displaystyle \frac{q^2-p^2}{q-p}}=p+q$$ である。よって直線 $PQ$ は $y-p^2=(p+q)(x-p)$ すなわち $y=(p+q)x-pq$ である。 $p<x<q$ では、直線 $PQ$ は放物線 $y=x^2$ より上にある。実際、差は $$(p+q)x-pq-x^2=-(x^2-(p+q)x+pq)=(x-p)(q-x)$$ であり、これは $p<x<q$ で正である。したがって囲まれる部分の面積は$${\int }_p^q\{(p+q)x-pq-x^2\}dx={\int }_p^q(x-p)(q-x)dx$$である。ここで $u=x-p$ とおくと、$0\leqq u\leqq q-p$ であり$${\int }_p^q(x-p)(q-x)dx={\int }_0^{q-p}u\{(q-p)-u\}du$$$$={[{\displaystyle \frac{(q-p)u^2}{2}}-{\displaystyle \frac{u^3}{3}}]}_0^{q-p}={\displaystyle \frac{(q-p{)}^3}{6}}$$となる。これが常に1であるから $${\displaystyle \frac{(q-p{)}^3}{6}}=1$$ すなわち $$q-p=\sqrt[3]{6}$$ である。

中点 $R$ の座標を $(X,Y)$ とすると $$X={\displaystyle \frac{p+q}{2}},Y={\displaystyle \frac{p^2+q^2}{2}}$$ である。ここで $${\displaystyle \frac{p^2+q^2}{2}}={\left({\displaystyle \frac{p+q}{2}}\right)}^2+{\displaystyle \frac{(q-p{)}^2}{4}}$$ だから $$Y=X^2+{\displaystyle \frac{(q-p{)}^2}{4}}$$ である。$$q-p=\sqrt[3]{6}$$ を代入して $$Y=X^2+{\displaystyle \frac{(\sqrt[3]{6}{)}^2}{4}}=X^2+{\displaystyle \frac{\sqrt[3]{36}}{4}}$$ を得る。したがって求める図形の方程式は $$y=x^2+{\displaystyle \frac{\sqrt[3]{36}}{4}}$$ である。

中点の横座標 $X$ と弦の端点間隔 $d$ を最初に導入する。弦と放物線の差が、中心 $X$ に関して対称な二次式 $d^2\mathrm{/}4-u^2$ になるので、面積と中点の高さを同じ2変数で一度に計算する。

中点 $R$ の $x$ 座標を $X$、2点の横座標の差を $d>0$ とすると$$P=(X-{\displaystyle \frac{d}{2}},{(X-{\displaystyle \frac{d}{2}})}^2),Q=(X+{\displaystyle \frac{d}{2}},{(X+{\displaystyle \frac{d}{2}})}^2)\mathrm{.}$$$x=X+u$ と置けば、弦 $PQ$ と放物線の縦の差は$${\displaystyle \frac{d^2}{4}}-u^2(-{\displaystyle \frac{d}{2}}\leqq u\leqq {\displaystyle \frac{d}{2}})$$である。従って面積は$${\int }_{-d\mathrm{/}2}^{d\mathrm{/}2}({\displaystyle \frac{d^2}{4}}-u^2)du={\displaystyle \frac{d^3}{6}}\mathrm{.}$$これが1だから $$d=\sqrt[3]{6}$$ である。

中点の $y$ 座標を $Y$ とすると$$Y={\displaystyle \frac{(X-d\mathrm{/}2{)}^2+(X+d\mathrm{/}2{)}^2}{2}}=X^2+{\displaystyle \frac{d^2}{4}}\mathrm{.}$$よって軌跡は$$y=x^2+{\displaystyle \frac{\sqrt[3]{36}}{4}}$$である。任意の実数 $X$ に対して上の $P,Q$ を取れるので、方程式上の全ての点が実現する。