京都大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)
$h=k-1$ とおく。2つの放物線の交点は $x^2+1=k{x}^2$ より $$1=h{x}^2,x=\pm {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{h}}}$$ である。囲まれた部分の面積を$T$とすると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle T}& {\displaystyle ={\int }_{-1\mathrm{/}\sqrt{h}}^{1\mathrm{/}\sqrt{h}}\{(x^2+1)-k{x}^2\}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_{-1\mathrm{/}\sqrt{h}}^{1\mathrm{/}\sqrt{h}}(1-h{x}^2)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2{[x-{\displaystyle \frac{h}{3}}{x}^3]}_0^{1\mathrm{/}\sqrt{h}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{4}{3\sqrt{h}}}={\displaystyle \frac{4}{3\sqrt{k-1}}}\mathrm{.}}\end{array}$$点$P(a,a^2+1)$における放物線$y=x^2+1$の接線は $y=2ax-a^2+1$ である。この接線と下側の放物線$y=k{x}^2$との差は $$(2ax-a^2+1)-k{x}^2=-k{x}^2+2ax-a^2+1$$ である。平方完成すると$$-k{(x-{\displaystyle \frac{a}{k}})}^2+1-a^2+{\displaystyle \frac{a^2}{k}}={\displaystyle \frac{k-a^2(k-1)}{k}}-k{(x-{\displaystyle \frac{a}{k}})}^2$$である。

ここで $D=k-a^2(k-1)$ とおく。接線と下側の放物線の間の面積は、上の式が正である範囲で $$\int \{{\displaystyle \frac{D}{k}}-k{(x-{\displaystyle \frac{a}{k}})}^2\}dx$$ を計算すればよい。正である範囲は $$\mid x-{\displaystyle \frac{a}{k}}\mid <{\displaystyle \frac{\sqrt{D}}{k}}$$ なので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \text{接線の下側の面積}}& {\displaystyle ={\int }_{-\sqrt{D}\mathrm{/}k}^{\sqrt{D}\mathrm{/}k}({\displaystyle \frac{D}{k}}-k{u}^2)du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2{[{\displaystyle \frac{D}{k}}u-{\displaystyle \frac{k}{3}}{u}^3]}_0^{\sqrt{D}\mathrm{/}k}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{4D^{3\mathrm{/}2}}{3k^2}}\mathrm{.}}\end{array}$$接線が面積を2等分するので、この面積は$T\mathrm{/}2$に等しい。したがって $${\displaystyle \frac{4D^{3\mathrm{/}2}}{3k^2}}={\displaystyle \frac{2}{3\sqrt{k-1}}}$$ である。これより $$D^{3\mathrm{/}2}={\displaystyle \frac{k^2}{2\sqrt{k-1}}}$$ となり、両辺を$2\mathrm{/}3$乗して $$D=k\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{k}{4(k-1)}}}$$ を得る。$D=k-a^2(k-1)$であるから$$a^2={\displaystyle \frac{k-D}{k-1}}={\displaystyle \frac{k}{k-1}}(1-\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{k}{4(k-1)}}})$$である。なお、実際にこのような接線が存在する場合には右辺は$a^2\geqq 0$を満たす。

(2)
(1)の式で$k\to \mathrm{\infty }$とすると $${\displaystyle \frac{k}{k-1}}\to 1,{\displaystyle \frac{k}{4(k-1)}}\to {\displaystyle \frac{1}{4}}$$ である。したがって $$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}^2=1-\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{1}{4}}}=1-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{4}}}$$ である。

放物線で切り取られる部分の面積公式を使う。差が $H-c(x-x_0{)}^2$ の形なら、半幅 $w=\sqrt{H\mathrm{/}c}$ で囲まれる面積は $4Hw\mathrm{/}3$ である。全体のレンズと接線下の部分にこの公式をそれぞれ適用し、面積比 $1:2$ から $a^2$ を求める。

次の面積公式を使う。$$H-c(x-x_0{)}^2\geqq 0$$で切り取られる放物線部分は、半幅 $$w=\sqrt{H\mathrm{/}c}$$ を用いて$$\begin{array}{cccc}& \text{面積}={\displaystyle \frac{4}{3}}Hw\mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$これは $x-x_0=wu$ と置けば$$Hw{\int }_{-1}^1(1-u^2)du={\displaystyle \frac{4}{3}}Hw$$から得られる。

(1)
2放物線の差は$$1-(k-1)x^2\mathrm{.}$$(1)で $$H=1,w=1\mathrm{/}\sqrt{k-1}$$ とすれば、全体の面積は$$T={\displaystyle \frac{4}{3\sqrt{k-1}}}\mathrm{.}$$点 $P(a,a^2+1)$ での接線は$$y=2ax-a^2+1.$$この直線と $y=k{x}^2$ の差を平方完成し、$$D=k-a^2(k-1)$$と置くと$${\displaystyle \frac{D}{k}}-k{(x-{\displaystyle \frac{a}{k}})}^2\mathrm{.}$$従って $$H=D\mathrm{/}k,w=\sqrt{D}\mathrm{/}k$$ であり、接線より下にある部分の面積は$${\displaystyle \frac{4D^{3\mathrm{/}2}}{3k^2}}\mathrm{.}$$これが $T\mathrm{/}2$ に等しいから$${\displaystyle \frac{4D^{3\mathrm{/}2}}{3k^2}}={\displaystyle \frac{2}{3\sqrt{k-1}}}\mathrm{.}$$よって$$D=k\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{k}{4(k-1)}}}\mathrm{.}$$$D=k-a^2(k-1)$ へ戻して$$a^2={\displaystyle \frac{k}{k-1}}(1-\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{k}{4(k-1)}}})\mathrm{.}$$右辺が非負となるのは $k\geqq 4\mathrm{/}3$ であり、問題の接線が存在する場合はこの条件を満たす。

(2) $$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}^2=1-\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{1}{4}}}=1-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{4}}}\mathrm{.}$$