京都大学 1999年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第6問

(1) $f$ の区間 $[a,b]$ における最小値を $m$、最大値を $M$ とする。すると$$m(b-a)\leqq {\int }_a^{b}f(x)dx\leqq M(b-a),$$従って$$m\leqq {\displaystyle \frac{1}{b-a}}{\int }_a^{b}f(x)dx\leqq M\mathrm{.}$$$f$ は連続であり、最小値と最大値の間のすべての値をとるから、中間値の定理により$$f(c)={\displaystyle \frac{1}{b-a}}{\int }_a^{b}f(x)dx$$となる $c\in [a,b]$ が存在する。

(2) $0\leqq y\leqq 1$ に対し、$$0\leqq \theta (y)\leqq \pi \mathrm{/}2$$，$\sin \theta (y)=y$ となる角 $\theta (y)$ をとる。高さ $y$ における回転体の断面は半径 $\theta (y)$ の円だから、断面積は$$A(y)=\pi \theta (y{)}^2$$であり、全体の体積は$$V=\pi {\int }_0^1\theta (y{)}^{2}dy\mathrm{.}$$ここで $y=\sin t$ とおくと、$0\leqq t\leqq \pi \mathrm{/}2$ では $\theta (y)=t$，$dy=\cos tdt$ である。よって部分積分により$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^1\theta (y{)}^{2}dy}& {\displaystyle ={\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}{t}^2\cos tdt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{{\pi }^2}{4}}-2.}\end{array}$$よって$$V=\pi ({\displaystyle \frac{{\pi }^2}{4}}-2)\mathrm{.}$$最上部の一層の体積は $V\mathrm{/}n$ だから$${\displaystyle \frac{V}{n}}={\int }_{y_n}^{1}A(y)dy\mathrm{.}$$右辺が0に近づくので $y_n\to 1$ である。(1)を区間 $[y_n,1]$ の連続関数 $A$ に適用すると、ある $c_n\in [y_n,1]$ が存在して$${\displaystyle \frac{V}{n}}=(1-y_n)A(c_n)\mathrm{.}$$$c_n\to 1$ より$$A(c_n)\to \pi {\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)}^2={\displaystyle \frac{{\pi }^3}{4}}\mathrm{.}$$従って$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }n(1-y_n)={\displaystyle \frac{V}{{\pi }^3\mathrm{/}4}}=1-{\displaystyle \frac{8}{{\pi }^2}}\mathrm{.}$$

(1) は平均値が最小値と最大値の間にあることを積分から示す。(2)では最上層の断面積を上下から挟み、積分の平均値の定理を直接使わずにはさみうちで極限を求める。

(1)
$f$ の最小値を $m$、最大値を $M$ とすると$$m(b-a)\leqq {\int }_a^{b}f(x)dx\leqq M(b-a)\mathrm{.}$$従って積分平均は $[m,M]$ に入る。連続関数はこの区間の全ての値を取るので、ある $c\in [a,b]$ で$$f(c)={\displaystyle \frac{1}{b-a}}{\int }_a^{b}f(x)dx$$となる。

(2)
$0\leqq y\leqq 1$ に対し、$$0\leqq \theta (y)\leqq \pi \mathrm{/}2$$，$\sin \theta (y)=y$ となる角 $\theta (y)$ をとる。高さ $y$ の断面積を$$A(y)=\pi \theta (y{)}^2$$とする。$y=\sin t$ とおけば $\theta (y)=t$，$dy=\cos tdt$ であるから、全体積は$$V=\pi {\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}{t}^2\cos tdt=\pi ({\displaystyle \frac{{\pi }^2}{4}}-2)\mathrm{.}$$最上層について$${\displaystyle \frac{V}{n}}={\int }_{y_n}^{1}A(y)dy\mathrm{.}$$$A$ は増加するから$$(1-y_n)A(y_n)\leqq {\displaystyle \frac{V}{n}}\leqq (1-y_n)A(1)\mathrm{.}$$ここから $y_n\to 1$ であり、両端の断面積はともに$$A(1)={\displaystyle \frac{{\pi }^3}{4}}$$へ収束する。はさみうちにより$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }n(1-y_n)={\displaystyle \frac{V}{{\pi }^3\mathrm{/}4}}=1-{\displaystyle \frac{8}{{\pi }^2}}\mathrm{.}$$