京都大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1)
まず $${\int }_{\pi -\beta }^{\pi -\alpha }\sin xdx={\int }_{\alpha }^{\beta }\sin xdx$$ である。実際、$u=\pi -x$と置けば$\sin x=\sin u$であり、積分区間が$[\alpha ,\beta ]$に移る。

したがって、示すべき不等式は $$2{\int }_{\alpha }^{\beta }\sin xdx>(\beta -\alpha )(\sin \alpha +\sin \beta )$$ と同じである。

ここで $$m={\displaystyle \frac{\alpha +\beta }{2}},d={\displaystyle \frac{\beta -\alpha }{2}}$$ とおく。$$0\leqq \alpha <\beta \leqq \pi \mathrm{/}2$$より$0<d\leqq \pi \mathrm{/}4$である。$x=m+u$とすると $$2{\int }_{\alpha }^{\beta }\sin xdx={\int }_{-d}^d\{\sin (m+u)+\sin (m-u)\}du$$ である。加法定理より $$\sin (m+u)+\sin (m-u)=2\sin m\cos u$$ であり、また端点では $$\sin \alpha +\sin \beta =\sin (m-d)+\sin (m+d)=2\sin m\cos d$$ である。 $-d<u<d$では$\cos u>\cos d$であり、$m>0$なので$\sin m>0$である。よって $$\sin (m+u)+\sin (m-u)>\sin \alpha +\sin \beta$$ が区間内部で成り立つ。これを$-d\leqq u\leqq d$で積分して$$2{\int }_{\alpha }^{\beta }\sin xdx>(2d)(\sin \alpha +\sin \beta )=(\beta -\alpha )(\sin \alpha +\sin \beta )$$を得る。$$\sin (\pi -\beta )=\sin \beta$$なので、これは求める不等式である。

(2) $$h={\displaystyle \frac{\pi }{8}}$$ とおく。(1)を $$[\alpha ,\beta ]=[(j-1)h,jh](j=1,2,3,4)$$ に適用する。4つの不等式の左辺を足すと$${\int }_0^{4h}\sin xdx+{\int }_{\pi -h}^{\pi }\sin xdx+{\int }_{\pi -2h}^{\pi -h}\sin xdx+{\int }_{\pi -3h}^{\pi -2h}\sin xdx+{\int }_{\pi -4h}^{\pi -3h}\sin xdx$$となる。これは $${\int }_0^{\pi }\sin xdx=2$$ に等しい。

一方、右辺を足すと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle h\{\sin 0+\sin h+\sin h+\sin 2h+\sin 2h+\sin 3h+\sin 3h+\sin 4h\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =h\{2\sin h+2\sin 2h+2\sin 3h+\sin 4h\}\mathrm{.}}\end{array}$$ここで$h=\pi \mathrm{/}8$だから $$\sin 5h=\sin 3h,\sin 6h=\sin 2h,\sin 7h=\sin h$$ である。したがって $$2\sin h+2\sin 2h+2\sin 3h+\sin 4h=\sum _{k=1}^7\sin kh$$ である。

(1) の不等式はすべて厳密なので、足し合わせて $$2>h\sum _{k=1}^7\sin kh={\displaystyle \frac{\pi }{8}}\sum _{k=1}^7\sin {\displaystyle \frac{k\pi }{8}}$$ を得る。ゆえに $$\sum _{k=1}^7\sin {\displaystyle \frac{k\pi }{8}}<{\displaystyle \frac{16}{\pi }}$$ である。

関数 $f(x)=\sin x$ が $0<x<\pi$ で狭義に上に凸であることを $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)<0$ から使う。曲線は弦より上にあるので、定積分は台形の面積より大きい。これを区間 $[\alpha ,\beta ]$ と対称区間へ適用して(1)を得て、幅 $\pi \mathrm{/}8$ の4区間について足し合わせる。

(1) $$f(x)=\sin x$$とすると$$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-\sin x<0(0<x<\pi )\mathrm{.}$$従って正弦曲線はこの区間で狭義に上に凸であり、$\alpha <x<\beta$ では曲線が両端を結ぶ弦より上にある。よって$${\int }_{\alpha }^{\beta }\sin xdx>(\beta -\alpha ){\displaystyle \frac{\sin \alpha +\sin \beta }{2}}\mathrm{.}$$$$\sin (\pi -\beta )=\sin \beta$$ であり、対称な2積分は等しいから、両辺を2倍して$${\int }_{\alpha }^{\beta }\sin xdx+{\int }_{\pi -\beta }^{\pi -\alpha }\sin xdx>(\beta -\alpha )\{\sin \alpha +\sin (\pi -\beta )\}\mathrm{.}$$(2)$$h={\displaystyle \frac{\pi }{8}}$$とし、(1)を$$[(j-1)h,jh](j=1,2,3,4)$$へ適用して足す。左辺の積分区間は $[0,\pi ]$ を重複なく覆うので$${\int }_0^{\pi }\sin xdx=2.$$右辺は対称性により$$h\sum _{k=1}^7\sin (kh)$$となる。すべて厳密な不等号だから$$2>{\displaystyle \frac{\pi }{8}}\sum _{k=1}^7\sin {\displaystyle \frac{k\pi }{8}}\mathrm{.}$$従って$$\sum _{k=1}^7\sin {\displaystyle \frac{k\pi }{8}}<{\displaystyle \frac{16}{\pi }}\mathrm{.}$$