京都大学 1998年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第1問

$\alpha \mathrm{\ne }0$であるから、ある実数$\theta$を用いて$$\alpha =r(\cos \theta +i\sin \theta )(r=\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }>0)$$と書ける。そこで$${\beta }_0=\sqrt{r}(\cos {\displaystyle \frac{\theta }{2}}+i\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}})$$とおくと、ド・モアブルの定理より$${\beta }_0^2=r(\cos \theta +i\sin \theta )=\alpha$$である。また$(-{\beta }_0{)}^2=\alpha$でもある。${\beta }_0\mathrm{\ne }0$なので、${\beta }_0$と$-{\beta }_0$は相異なる。

逆に、複素数$\gamma$が${\gamma }^2=\alpha$を満たすとする。このとき$${\gamma }^2-{\beta }_0^2=(\gamma -{\beta }_0)(\gamma +{\beta }_0)=0$$である。複素数の積が0ならば少なくとも一方が0だから、$\gamma ={\beta }_0$または$\gamma =-{\beta }_0$である。

従って、条件を満たす複素数は${\beta }_0,-{\beta }_0$のちょうど2個である。

$\alpha =u+vi,\beta =x+yi$ と実部・虚部に分ける。絶対値から $x^2,y^2$ を一意に決め、積 $2xy=v$ が相対符号を決めることにより、2解が互いに符号を変えたものだけであると示す。

$$\alpha =u+vi,\beta =x+yi$$とおく。${\beta }^2=\alpha$ は$$x^2-y^2=u,2xy=v$$と同値である。また絶対値を取れば$$x^2+y^2=\mathrm{\mid }\beta {\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }\mathrm{.}$$従って$$x^2={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }+u}{2}},y^2={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }-u}{2}}\mathrm{.}$$右辺はともに0以上であり、少なくとも一方は正である。

$v\mathrm{\ne }0$ のときは $x,y\mathrm{\ne }0$ で、上の2式が $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid },\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }$ を決め、$2xy=v$ が2数の相対符号を決める。従って1組 $(x_0,y_0)$ が決まれば、可能なのは$$(x,y)=(x_0,y_0),(-x_0,-y_0)$$の2組だけである。

$v=0$ のとき、$\alpha \mathrm{\ne }0$ だから $u\mathrm{\ne }0$ である。$u>0$ なら $$y=0,x=\pm \sqrt{u}$$、$u<0$ なら $$x=0,y=\pm \sqrt{-u}$$ であり、やはり2個である。

以上より、${\beta }^2=\alpha$ の解は、ある1つの解 ${\beta }_0$ とその反数 $-{\beta }_0$ のちょうど2個である。