京都大学 2001年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第5問

(1) $$\mathit{u}=\left(\begin{array}{c}a\\ c\end{array}\right),\mathit{v}=\left(\begin{array}{c}b\\ d\end{array}\right),\mathit{w}=\left(\begin{array}{c}s\\ 1-s\end{array}\right),\mathit{t}=\left(\begin{array}{c}4\\ 5-s\end{array}\right)$$とおく。第1の方程式に解があるから $\mathit{w}$ は $\mathit{u},\mathit{v}$ の一次結合である。第2の方程式に解がないから $\mathit{t}$ はその一次結合ではない。

もし $\mathit{u},\mathit{v}$ が一次独立なら、任意の平面ベクトル、特に $\mathit{t}$ がその一次結合となり矛盾する。従って両列は一次従属である。また $$\mathit{w}\mathrm{\ne }\mathbf{0}$$ であり、$\mathit{w}$ は両列の一次結合だから、両列が張る直線は $\mathit{w}$ が張る直線に一致する。従って $\mathit{u},\mathit{v}$ はともに $\mathit{w}$ の実数倍である。

(2) (1)より、第2の方程式に解がないための条件は $\mathit{t}$ が $\mathit{w}$ の実数倍でないことである。これは$$\det \left(\begin{array}{cc}s& 4\\ 1-s& 5-s\end{array}\right)\mathrm{\ne }0$$と同値である。左辺は$$s(5-s)-4(1-s)=-s^2+9s-4.$$従って$$s^2-9s+4\mathrm{\ne }0,$$すなわち$$s\mathrm{\ne }{\displaystyle \frac{9+\sqrt{65}}{2}},s\mathrm{\ne }{\displaystyle \frac{9-\sqrt{65}}{2}}\mathrm{.}$$逆にこの条件を満たすなら、例えば $A$ の第1列を $\mathit{w}$、第2列を零ベクトルとすれば、第1の方程式には $(x,y)=(1,0)$ という解があり、第2の右辺 $\mathit{t}$ は列の張る直線上にないので第2の方程式には解がない。従って上の条件は必要十分である。

第2の方程式に解がないので $A$ は正則ではない。
一方、第1の右辺は零ベクトルでなく列の一次結合だから、列の張る範囲は
その右辺が張る直線に一致する。(2)は2つの右辺の行列式を調べる。

$$\mathit{w}=\left(\begin{array}{c}s\\ 1-s\end{array}\right),\mathit{t}=\left(\begin{array}{c}4\\ 5-s\end{array}\right)$$とおく。

(1)

もし $\det A\mathrm{\ne }0$ なら、任意の右辺に対して$$A\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\mathit{t}$$は解をもつ。
これは仮定に反するから$$\det A=0.$$したがって $A$ の2本の列は一次従属である。

第1の方程式に解があるので $\mathit{w}$ は列の一次結合である。
しかも $$\mathit{w}\mathrm{\ne }\mathbf{0}$$ だから、少なくとも1本の列は零でなく、
2本の列が張る集合は $\mathit{w}$ が張る直線に一致する。
よって各列は $\mathit{w}$ の実数倍である。

(2)

第2の方程式に解がないための必要十分条件は、
$\mathit{t}$ が $\mathit{w}$ の実数倍でないことである。すなわち$$\det \left(\begin{array}{cc}s& 4\\ 1-s& 5-s\end{array}\right)=-s^2+9s-4\mathrm{\ne }0.$$したがって$$s\mathrm{\ne }{\displaystyle \frac{9+\sqrt{65}}{2}},s\mathrm{\ne }{\displaystyle \frac{9-\sqrt{65}}{2}}\mathrm{.}$$逆にこの条件のもとで $A$ の第1列を $\mathit{w}$、第2列を零列とすれば、
第1の方程式には解があり、第2の方程式には解がない。
よってこの条件は必要十分である。