京都大学 1998年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第6問

(1)
$u=\cos \theta$とおくと$${\sin }^3\theta d\theta =(1-u^2)\sin \theta d\theta =-(1-u^2)du,\cos 2\theta =2u^2-1.$$従って$$I_2={\int }_{1\mathrm{/}\sqrt{2}}^1(2u^2-1{)}^2(1-u^2)du\mathrm{.}$$展開して積分すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle I_2}& {\displaystyle ={[-{\displaystyle \frac{4}{7}}{u}^7+{\displaystyle \frac{8}{5}}{u}^5-{\displaystyle \frac{5}{3}}{u}^3+u]}_{1\mathrm{/}\sqrt{2}}^1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{38-26\sqrt{2}}{105}}\mathrm{.}}\end{array}$$(2)
曲線は直線$y=x$について対称である。$0\leqq \theta \leqq \pi \mathrm{/}4$側の領域だけを直線$y=x$の周りに1回転すれば、求める立体を重複なく得る。極座標の微小面積は$\rho d\rho d\theta$で、点$(\rho ,\theta )$から回転軸までの距離は$$\rho \sin ({\displaystyle \frac{\pi }{4}}-\theta )$$である。従って円筒殻の考え方により$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =2\pi {\int }_0^{\pi \mathrm{/}4}{\int }_0^{\sin 2\theta }\rho \sin ({\displaystyle \frac{\pi }{4}}-\theta )\rho d\rho d\theta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}{\int }_0^{\pi \mathrm{/}4}{\sin }^{3}2\theta \sin ({\displaystyle \frac{\pi }{4}}-\theta )d\theta \mathrm{.}}\end{array}$$$$\varphi ={\displaystyle \frac{\pi }{4}}-\theta$$とおくと$\sin 2\theta =\cos 2\varphi$だから$$V={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}J,J={\int }_0^{\pi \mathrm{/}4}{\cos }^{3}2\varphi \sin \varphi d\varphi \mathrm{.}$$ここで(1)と同じく$u=\cos \varphi$とおいて展開すると$$I_2={\displaystyle \frac{38}{105}}-{\displaystyle \frac{52}{105\sqrt{2}}},$$$$I_3=-{\displaystyle \frac{94}{315}}+{\displaystyle \frac{136}{315\sqrt{2}}},J=-{\displaystyle \frac{9}{35}}+{\displaystyle \frac{16}{35\sqrt{2}}}\mathrm{.}$$これらから$$J={\displaystyle \frac{9}{2}}{I}_3+3I_2$$である。従って$$V={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}J={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}({\displaystyle \frac{9}{2}}{I}_3+3I_2)=3\pi I_3+2\pi I_2\mathrm{.}$$

対称軸の片側を極座標の円筒殻として回すところまでは幾何的に導く。得られた補助積分 $J$ と $I_2,I_3$ は同じ置換で多項式積分にし、数値を省略せず照合する。

(1)
$u=\cos \theta$ とおくと$$I_2={\int }_{1\mathrm{/}\sqrt{2}}^1(2u^2-1{)}^2(1-u^2)du\mathrm{.}$$展開して$$I_2={[-{\displaystyle \frac{4}{7}}{u}^7+{\displaystyle \frac{8}{5}}{u}^5-{\displaystyle \frac{5}{3}}{u}^3+u]}_{1\mathrm{/}\sqrt{2}}^1={\displaystyle \frac{38-26\sqrt{2}}{105}}\mathrm{.}$$(2)
曲線 $r=\sin 2\theta$ は $y=x$ について対称である。その片側$$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{4}},0\leqq \rho \leqq \sin 2\theta$$だけを軸の周りに回す。微小面積 $\rho d\rho d\theta$ の回転半径は$$\rho \sin ({\displaystyle \frac{\pi }{4}}-\theta )$$なので、円筒殻により$$V={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}{\int }_0^{\pi \mathrm{/}4}{\sin }^{3}2\theta \sin ({\displaystyle \frac{\pi }{4}}-\theta )d\theta \mathrm{.}$$$\varphi =\pi \mathrm{/}4-\theta$ とおき$$J={\int }_0^{\pi \mathrm{/}4}{\cos }^{3}2\varphi \sin \varphi d\varphi$$とすれば $V=2\pi J\mathrm{/}3$ である。

$u=\cos \varphi$ によって3つの積分を同じ区間 $[1\mathrm{/}\sqrt{2},1]$ の多項式積分へ直すと$$I_2={\displaystyle \frac{38}{105}}-{\displaystyle \frac{52}{105\sqrt{2}}},$$$$I_3=-{\displaystyle \frac{94}{315}}+{\displaystyle \frac{136}{315\sqrt{2}}},J=-{\displaystyle \frac{9}{35}}+{\displaystyle \frac{16}{35\sqrt{2}}}\mathrm{.}$$直接整理して$$J={\displaystyle \frac{9}{2}}{I}_3+3I_2\mathrm{.}$$従って$$V={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}J=3\pi I_3+2\pi I_2\mathrm{.}$$