京都大学 2000年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

(1) $$a(-ak)+(a^2+1)k=k$$だから$$(x,y)=(-ak,k)$$は直線 $L$ 上の格子点である。

また $\gcd (a,a^2+1)=1$ なので、直線 $L$ 上の格子点はすべて$$x=-ak+(a^2+1)t,y=k-at(t\text{ は整数})$$と表される。

(2) $k=a(a^2+1)$ のとき$$x=(a^2+1)(t-a^2),y=a(a^2+1-t)\mathrm{.}$$従って $x>0$ なら $t>a^2$、$y>0$ なら $t<a^2+1$ でなければならない。この二つを同時に満たす整数 $t$ は存在しない。よって正の領域に格子点は存在しない。

(3) 一般形において $x>0,y>0$ となる条件は$${\displaystyle \frac{ak}{a^2+1}}<t<{\displaystyle \frac{k}{a}}$$である。この開区間の長さは$${\displaystyle \frac{k}{a}}-{\displaystyle \frac{ak}{a^2+1}}={\displaystyle \frac{k}{a(a^2+1)}}\mathrm{.}$$仮定 $k>a(a^2+1)$ より、この長さは1より大きい。長さが1より大きい開区間には必ず整数が一つ以上含まれるから、その整数を $t$ に選べば $x>0,y>0$ を満たす格子点が得られる。

(1) で1個の整数解を作り、互いに素な係数から全整数解を媒介表示する。
(3)では正値条件が与える開区間に、床関数で具体的な整数を1つ構成する。

(1) $$a(-ak)+(a^2+1)k=k$$だから$$(x,y)=(-ak,k)$$は格子点である。また $\gcd (a,a^2+1)=1$ より、すべての整数解は$$x=-ak+(a^2+1)t,y=k-at(t\in \mathbb{Z})$$と表される。

(2)
$x>0,y>0$ のためには$${\displaystyle \frac{ak}{a^2+1}}<t<{\displaystyle \frac{k}{a}}\mathrm{.}$$$k=a(a^2+1)$ なら、この区間は$$a^2<t<a^2+1$$となり、整数 $t$ を含まない。

(3)
$k>a(a^2+1)$ なら$${\displaystyle \frac{k}{a}}-{\displaystyle \frac{ak}{a^2+1}}={\displaystyle \frac{k}{a(a^2+1)}}>1.$$ここで$$t=\lfloor {\displaystyle \frac{ak}{a^2+1}}\rfloor +1$$と選ぶと、左側の不等式は明らかに成り立つ。さらに区間の長さが1より大きいので$$t\leqq {\displaystyle \frac{ak}{a^2+1}}+1<{\displaystyle \frac{k}{a}}\mathrm{.}$$従ってこの $t$ に対応する $x,y$ はともに正であり、
求める格子点が存在する。