京都大学 2000年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1) $$a=p+q,b=pq+p,c=pq+1$$ であり、$p,q\geqq 2$ である。

まず $b-c=(pq+p)-(pq+1)=p-1>0$ である。また $$c-a=(pq+1)-(p+q)=pq-p-q+1=(p-1)(q-1)>0$$ である。したがって $a<c<b$ である。

三角形では、長い辺に向かい合う角ほど大きい。辺 $a,b,c$ はそれぞれ $\mathrm{\angle }A,\mathrm{\angle }B,\mathrm{\angle }C$ の向かい側であるから $$\mathrm{\angle }A<\mathrm{\angle }C<\mathrm{\angle }B$$ である。

(2)
(1)より $$\mathrm{\angle }A<\mathrm{\angle }C<\mathrm{\angle }B$$ である。もし $\mathrm{\angle }A={60}^{\circ }$ なら、$\mathrm{\angle }C$ と $\mathrm{\angle }B$ はともに ${60}^{\circ }$ より大きくなり、内角和が ${180}^{\circ }$ を超えてしまう。もし $\mathrm{\angle }B={60}^{\circ }$ なら、$\mathrm{\angle }A$ と $\mathrm{\angle }C$ はともに ${60}^{\circ }$ より小さくなり、内角和が ${180}^{\circ }$ に届かない。したがって $\mathrm{\angle }C={60}^{\circ }$ でなければならない。

余弦定理を $C={60}^{\circ }$ に対して用いると $$c^2=a^2+b^2-2ab\cos {60}^{\circ }=a^2+b^2-ab$$ である。よって $a^2+b^2-ab-c^2=0$ である。ここに $a=p+q$、$b=pq+p$、$c=pq+1$ を代入すると $(p-1)(q+1)(p-q+1)=0$ となる。$p\geqq 2$、$q+1>0$ であるから $p-q+1=0$ すなわち $p=q-1$ である。

これを $a,b,c$ に代入すると $$a=2q-1,b=q^2-1,c=q^2-q+1$$ となる。$q\geqq 2$ なので $a=2q-1$ は1より大きい奇数であり、2のべき乗ではない。また $c=q(q-1)+1$ で、$q(q-1)$ は偶数だから $c$ も1より大きい奇数である。したがって $c$ も2のべき乗ではない。

よって2のべき乗である可能性があるのは $b=q^2-1=(q-1)(q+1)$ だけである。もし $q$ が偶数なら、$q^2-1$ は1より大きい奇数となり不可能である。したがって $q$ は奇数であり、$q-1$ と $q+1$ はともに偶数である。

積 $(q-1)(q+1)$ が2のべき乗であるためには、$q-1$ と $q+1$ がともに2のべき乗でなければならない。この2数の差は2である。差が2である2つの2のべき乗は $2,4$ に限られる。実際、$2^r$ と $2^s$ $(r<s)$ の差が2なら、$2^r(2^{s-r}-1)=2$ であり、$r=1$、$s-r=1$ となる。

したがって $q-1=2,q+1=4$ であり、$q=3,p=2$ である。よって $$(a,b,c)=(p+q,pq+p,pq+1)=(5,8,7)$$ である。

3辺の差を因数分解して角の順序を確定し、${60}^{\circ }$ となる角を絞る。
余弦定理から得る $p,q$ の式も完全に因数分解する。
最後は、差が2である2個の2のべき乗を分類して整数条件を仕上げる。

(1)
まず$$a=p+q,b=pq+p,c=pq+1$$について$$b-c=p-1>0,c-a=(p-1)(q-1)>0$$だから $a<c<b$、従って$$\mathrm{\angle }A<\mathrm{\angle }C<\mathrm{\angle }B$$である。

(2)
$\mathrm{\angle }A={60}^{\circ }$ なら $\mathrm{\angle }C,\mathrm{\angle }B$ は
ともに ${60}^{\circ }$ より大きく、内角和が ${180}^{\circ }$ を超える。
$\mathrm{\angle }B={60}^{\circ }$ なら $\mathrm{\angle }A,\mathrm{\angle }C$ はともに
${60}^{\circ }$ より小さく、内角和が ${180}^{\circ }$ に届かない。
よって$$\mathrm{\angle }C={60}^{\circ }\mathrm{.}$$余弦定理より$$c^2=a^2+b^2-ab\mathrm{.}$$3辺の式を代入して因数分解すると$$(p-1)(q+1)(p-q+1)=0.$$$p,q\geqq 2$ だから$$p=q-1.$$従って$$a=2q-1,b=(q-1)(q+1),c=q(q-1)+1.$$$a,c$ は1より大きい奇数なので、2のべき乗ではない。
従って $b$ が2のべき乗である。$q$ が偶数なら $b$ は奇数となるため、
$q$ は奇数である。すると $q-1,q+1$ はともに偶数であり、
積が2のべき乗なので各因子も2のべき乗でなければならない。$$q-1=2^r,q+1=2^s(r<s)$$ と書くと$$2^r(2^{s-r}-1)=2.$$括弧内は奇数だから $r=1$、さらに $2^{s-r}-1=1$ より $s=2$ である。
従って$$q=3,p=2,$$ゆえに$$(a,b,c)=(5,8,7)$$である。