京都大学 1999年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1)
複素数 $z$ が単位円上にあることは $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=1$ と同値である。このとき $z\mathrm{\ne }0$ であり、$z\bar{z}=\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^2=1$ だから、両辺を $z$ で割って $\bar{z}={\displaystyle \frac{1}{z}}$ を得る。

逆に $\bar{z}={\displaystyle \frac{1}{z}}$ が成り立つなら、右辺が定義されているので $z\mathrm{\ne }0$ である。両辺に $z$ をかけると $z\bar{z}=1$ であり、すなわち $\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^2=1$ である。$\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }\geqq 0$ だから $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=1$ となり、$z$ は単位円上にある。よって必要十分条件が示された。

(2) $z_1,z_2,z_3,z_4$ が単位円上にあるとする。(1)より $${\bar{z}}_j={\displaystyle \frac{1}{z_j}}(j=1,2,3,4)$$ である。したがって$$\bar{w}={\displaystyle \frac{({\bar{z}}_1-{\bar{z}}_3)({\bar{z}}_2-{\bar{z}}_4)}{({\bar{z}}_1-{\bar{z}}_4)({\bar{z}}_2-{\bar{z}}_3)}}$$$$={\displaystyle \frac{({\displaystyle \frac{1}{z_1}}-{\displaystyle \frac{1}{z_3}})({\displaystyle \frac{1}{z_2}}-{\displaystyle \frac{1}{z_4}})}{({\displaystyle \frac{1}{z_1}}-{\displaystyle \frac{1}{z_4}})({\displaystyle \frac{1}{z_2}}-{\displaystyle \frac{1}{z_3}})}}$$である。ここで $${\displaystyle \frac{1}{z_i}}-{\displaystyle \frac{1}{z_j}}={\displaystyle \frac{z_j-z_i}{z_i{z}_j}}$$ を用いると、分子と分母に現れる $z_1{z}_2{z}_3{z}_4$ は打ち消し合い、また符号も2個ずつ出るので $$\bar{w}={\displaystyle \frac{(z_1-z_3)(z_2-z_4)}{(z_1-z_4)(z_2-z_3)}}=w$$ となる。したがって $w$ は実数である。

(3) $z_4=z$ とおく。$z_1,z_2,z_3$ は単位円上にあるので、(1)より $${\bar{z}}_j={\displaystyle \frac{1}{z_j}}(j=1,2,3)$$ である。また $w$ は実数だから $w=\bar{w}$ である。

まず $$w={\displaystyle \frac{z_1-z_3}{z_2-z_3}}\cdot {\displaystyle \frac{z_2-z}{z_1-z}}$$ と書ける。一方、共役を取ると$$\bar{w}={\displaystyle \frac{{\bar{z}}_1-{\bar{z}}_3}{{\bar{z}}_2-{\bar{z}}_3}}\cdot {\displaystyle \frac{{\bar{z}}_2-\bar{z}}{{\bar{z}}_1-\bar{z}}}$$である。前半の比は$${\displaystyle \frac{{\bar{z}}_1-{\bar{z}}_3}{{\bar{z}}_2-{\bar{z}}_3}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{z_1}}-{\displaystyle \frac{1}{z_3}}}{{\displaystyle \frac{1}{z_2}}-{\displaystyle \frac{1}{z_3}}}}={\displaystyle \frac{z_2}{z_1}}\cdot {\displaystyle \frac{z_1-z_3}{z_2-z_3}}$$である。また$${\displaystyle \frac{{\bar{z}}_2-\bar{z}}{{\bar{z}}_1-\bar{z}}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{z_2}}-\bar{z}}{{\displaystyle \frac{1}{z_1}}-\bar{z}}}={\displaystyle \frac{z_1}{z_2}}\cdot {\displaystyle \frac{1-z_2\bar{z}}{1-z_1\bar{z}}}$$である。したがって $$\bar{w}={\displaystyle \frac{z_1-z_3}{z_2-z_3}}\cdot {\displaystyle \frac{1-z_2\bar{z}}{1-z_1\bar{z}}}$$ となる。 $w=\bar{w}$ であり、$z_1,z_2,z_3,z$ は相異なるので、共通因子 $(z_1-z_3)\mathrm{/}(z_2-z_3)$ を消して $${\displaystyle \frac{z_2-z}{z_1-z}}={\displaystyle \frac{1-z_2\bar{z}}{1-z_1\bar{z}}}$$ を得る。分母は0でない。両辺を払うと $$(z_2-z)(1-z_1\bar{z})=(z_1-z)(1-z_2\bar{z})$$ である。展開して共通項を消すと $z_2-z_1=\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^2(z_2-z_1)$ となる。すなわち $(z_2-z_1)(1-\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^2)=0$ である。$z_1\mathrm{\ne }{z}_2$ だから $\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^2=1$ であり、$\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=1$ である。よって $z=z_4$ は単位円上にある。

交比 $w$ の偏角を、4点を結ぶ線分の向き付き角の差として読む。単位円上の4点なら同じ弦を見る円周角が等しいので $w$ は実数になり、逆に $w$ が実数なら3点を通る円周角条件から第4点も同じ円上にある。

(1)
$z$ が単位円上にあることは $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=1$ と同値である。$\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^2=z\bar{z}$ より$$\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=1⟺z\bar{z}=1⟺\bar{z}={\displaystyle \frac{1}{z}}\mathrm{.}$$(2)
複素数の商の偏角は線分の向き付き角を表すので$$\arg w=\mathrm{\angle }(z_1{z}_3,z_1{z}_4)-\mathrm{\angle }(z_2{z}_3,z_2{z}_4)\mathrm{.}$$4点が同じ単位円上にあれば、右辺の2角は同じ弦 $z_3{z}_4$ に対する円周角であり、向きを含めて $\pi$ の整数倍だけ異なる。従って$$\arg w\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\pi )$$であり、$w$ は実数である。

(3)
$w$ が実数なら逆に$$\mathrm{\angle }(z_1{z}_3,z_1{z}_4)\equiv \mathrm{\angle }(z_2{z}_3,z_2{z}_4)(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\pi )\mathrm{.}$$これは4点が同一円周上にあるための円周角の逆である。$z_1,z_2,z_3$ を通る円は単位円で一意だから、相異なる第4点 $z_4$ も単位円上にある。