京都大学 1999年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第2問

恒等式$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle {\sin }^2(\alpha +\beta )-{\sin }^2\alpha -{\sin }^2\beta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\sin \alpha \sin \beta \cos (\alpha +\beta )}\end{array}$$を用いる。仮定より左辺は0である。また$$\alpha >0^{\circ },\beta >0^{\circ },\alpha +\beta <{180}^{\circ }$$だから $$\sin \alpha >0,\sin \beta >0$$ である。従って$$\cos (\alpha +\beta )=0,$$すなわち$$\alpha +\beta ={90}^{\circ }\mathrm{.}$$よって $\beta ={90}^{\circ }-\alpha$ で、$0^{\circ }<\alpha <{90}^{\circ }$ であるから$$\sin \alpha +\sin \beta =\sin \alpha +\cos \alpha =\sqrt{2}\sin (\alpha +{45}^{\circ })\mathrm{.}$$この値は $\alpha ={45}^{\circ }$ のとき $\sqrt{2}$ となる。一方、$\alpha \to 0^{\circ }+0$ または $\alpha \to {90}^{\circ }-0$ のとき1に近づくが、端点は許されないので1にはならない。

従って取りうる範囲は$$1<\sin \alpha +\sin \beta \leqq \sqrt{2}$$である。

与式から $\alpha +\beta ={90}^{\circ }$ を得た後、和積公式ではなく平方を計算する。$(\sin \alpha +\cos \alpha {)}^2=1+\sin 2\alpha$ と $0<\sin 2\alpha \leqq 1$ から端点の開閉も含めて範囲を決める。

与式の差を整理すると$$2\sin \alpha \sin \beta \cos (\alpha +\beta )=0.$$$\alpha ,\beta >0^{\circ }$ かつ $\alpha +\beta <{180}^{\circ }$ なので$$\alpha +\beta ={90}^{\circ }\mathrm{.}$$従って $0^{\circ }<\alpha <{90}^{\circ }$ で$$\sin \alpha +\sin \beta =\sin \alpha +\cos \alpha \mathrm{.}$$その平方は$$(\sin \alpha +\cos \alpha {)}^2=1+\sin 2\alpha \mathrm{.}$$$$0^{\circ }<2\alpha <{180}^{\circ }$$ より$$0<\sin 2\alpha \leqq 1.$$左辺は正だから平方根を取り$$1<\sin \alpha +\sin \beta \leqq \sqrt{2}\mathrm{.}$$上端は $\alpha =\beta ={45}^{\circ }$ で取り、下端1は $\alpha \to 0^{\circ }+0$ または ${90}^{\circ }-0$ で近づくだけなので含まない。