京都大学 1997年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

(1)
$M=\max (\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid },\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid },\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid })$とする。$M>1$と仮定し、例えば$M=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$とする。このとき$$y=2x^2-1=2M^2-1>M$$である。最後の不等式は$$2M^2-1-M=(2M+1)(M-1)>0$$による。従って$\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }>M$となり、$M$の定義に矛盾する。他の変数が最大の場合も同様なので$$\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid },\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid },\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }\leqq 1.$$(2)
(1)より$x=\cos \theta$ $(0\leqq \theta \leqq \pi )$と書ける。2倍角公式から$$y=\cos 2\theta ,z=\cos 4\theta \mathrm{.}$$第3式は$$\cos \theta =2{\cos }^{2}4\theta -1=\cos 8\theta$$となる。従って$$8\theta =2k\pi +\theta \text{または}8\theta =2k\pi -\theta \mathrm{.}$$$0\leqq \theta \leqq \pi$で得られる値は$$\theta ={\displaystyle \frac{2k\pi }{7}}(k=0,1,2,3)$$および$$\theta ={\displaystyle \frac{2k\pi }{9}}(k=0,1,2,3,4)$$である。両群で重なるのは$\theta =0$だけなので、相異なる値は$4+5-1=8$個である。

各$\theta$から$$(x,y,z)=(\cos \theta ,\cos 2\theta ,\cos 4\theta )$$を作れば元の3式をすべて満たす。また$0\leqq \theta \leqq \pi$では$\cos \theta$が狭義減少するので、8個の$\theta$は相異なる8組を与える。逆に任意の解はこの形に帰着したから、解は全部で8組である。

(1) で得た有界性から $x=(z+z^{-1})\mathrm{/}2$, $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=1$ と表し、写像 $2x^2-1$ が $z\mapsto z^2$ に対応することを使う。3回反復の固定点条件は $z^8+z^{-8}=z+z^{-1}$ となり、$z^7=1$ または $z^9=1$ に分かれる。共役な根が同じ余弦を与えることを考慮して8組を数える。

(1) $$M=\max (\mid x\mid ,\mid y\mid ,\mid z\mid )$$とする。もし $M>1$ で、例えば $M=\mid x\mid$ なら$$y=2x^2-1=2M^2-1>M$$となり、$\mid y\mid >M$ で矛盾する。他の変数が最大の場合も同じだから$$\mid x\mid ,\mid y\mid ,\mid z\mid \leqq 1.$$(2)
$\mathrm{\mid }{z}_0\mathrm{\mid }=1$ を満たす複素数を使って$$x={\displaystyle \frac{z_0+z_0^{-1}}{2}}$$と表す。すると$$2x^2-1={\displaystyle \frac{z_0^2+z_0^{-2}}{2}}\mathrm{.}$$従って3回の写像の後に $x$ へ戻る条件は$$z_0^8+z_0^{-8}=z_0+z_0^{-1}\mathrm{.}$$これは$$(z_0^7-1)(z_0^9-1)=0$$と同値である。従って $z_0$ は7乗根または9乗根である。

7乗根から得られる実数 $x=(z_0+z_0^{-1})\mathrm{/}2$ は、共役な2根が同じ値を与えるため$$1,\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{7}},\cos {\displaystyle \frac{4\pi }{7}},\cos {\displaystyle \frac{6\pi }{7}}$$の4個である。9乗根からは$$1,\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{9}},\cos {\displaystyle \frac{4\pi }{9}},\cos {\displaystyle \frac{6\pi }{9}},\cos {\displaystyle \frac{8\pi }{9}}$$の5個を得る。両者で重なるのは $1$ だけだから、$x$ は$$4+5-1=8$$個である。

各 $x$ に対して $y=2x^2-1,z=2y^2-1$ は一意に決まり、逆に上の根はすべて元の3式を満たす。よって相異なる実数解は全部で8組である。