京都大学 1997年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第2問

(1)
加法定理より$$\cos (m+n{)}^{\circ }=\cos m^{\circ }\cos n^{\circ }-\sin m^{\circ }\sin n^{\circ },$$$$\sin (m+n{)}^{\circ }=\sin m^{\circ }\cos n^{\circ }+\cos m^{\circ }\sin n^{\circ }\mathrm{.}$$右辺は有理数の積と和・差だけでできているので、両者とも有理数である。

(2)
$n\mid 60$だから$h=60\mathrm{/}n$は正整数である。もし$\cos n^{\circ },\sin n^{\circ }$がともに有理数なら、(1)を繰り返し用いることにより$$\cos (hn{)}^{\circ }=\cos {60}^{\circ },\sin (hn{)}^{\circ }=\sin {60}^{\circ }$$もともに有理数となる。しかし$$\sin {60}^{\circ }={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$$は無理数である。これは矛盾する。従って少なくとも一方は無理数である。

倍角・加法を反復したとき、$\cos (r{n}^{\circ }),\sin (r{n}^{\circ })$ が $\cos n^{\circ },\sin n^{\circ }$ の整数係数多項式になることを帰納法で示す。この「有理数を代入すれば有理数」という性質を $r=60\mathrm{/}n$ に適用し、$\sin {60}^{\circ }$ の無理性と矛盾させる。

(1) $$c_r=\cos (rn{)}^{\circ },s_r=\sin (rn{)}^{\circ }$$と置く。加法定理から$$\begin{array}{rl}{\displaystyle c_{r+1}}& {\displaystyle =c_r\cos n^{\circ }-s_r\sin n^{\circ },}\\ {\displaystyle s_{r+1}}& {\displaystyle =s_r\cos n^{\circ }+c_r\sin n^{\circ }\mathrm{.}}\end{array}$$従って $\cos n^{\circ },\sin n^{\circ }$ がともに有理数なら、$c_1,s_1$ から帰納的にすべての $c_r,s_r$ が有理数となる。特に $m,n$ のそれぞれの正弦・余弦が有理数なら、通常の加法定理により$$\cos (m+n{)}^{\circ },\sin (m+n{)}^{\circ }$$も有理数である。

(2)
$n\mid 60$ とし$$h={\displaystyle \frac{60}{n}}$$と置く。$h$ は正整数である。もし $\cos n^{\circ },\sin n^{\circ }$ がともに有理数なら、上の漸化式を $h-1$ 回用いて$$\sin (hn{)}^{\circ }=\sin {60}^{\circ }$$も有理数となる。しかし$$\sin {60}^{\circ }={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$$は無理数である。矛盾するので、$\cos n^{\circ },\sin n^{\circ }$ の少なくとも一方は無理数である。