京都大学 1998年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第4問

(1)
$s=\sin \theta$とおくと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 2\sin 3\theta -2\cos 2\theta -1}& {\displaystyle =2(3s-4s^3)-2(1-2s^2)-1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-8s^3+4s^2+6s-3}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(2s-1)(3-4s^2)\mathrm{.}}\end{array}$$従ってこれが正となるのは$$-1\leqq s<-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\text{または}{\displaystyle \frac{1}{2}}<s<{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$$のときである。$$0^{\circ }\leqq \theta <{360}^{\circ }$$に戻すと$${30}^{\circ }<\theta <{60}^{\circ },{120}^{\circ }<\theta <{150}^{\circ },{240}^{\circ }<\theta <{300}^{\circ }\mathrm{.}$$(2)$$F(s)=-8s^3+4s^2+6s-3(-1\leqq s\leqq 1)$$とおく。$$F^{\mathrm{\prime }}(s)=-24s^2+8s+6$$の零点は$$u={\displaystyle \frac{1-\sqrt{10}}{6}},v={\displaystyle \frac{1+\sqrt{10}}{6}}$$である。$F$は$[-1,u]$で減少、$[u,v]$で増加、$[v,1]$で減少する。また$$F(-1)=3,F(1)=-1,$$$$F(u)=L=-{\displaystyle \frac{4(13+5\sqrt{10})}{27}},F(v)=U={\displaystyle \frac{4(5\sqrt{10}-13)}{27}}\mathrm{.}$$ここで$L<-1<U<3$である。

$s\in (-1,1)$の1つの解には$\sin \theta =s$を満たす$\theta$が2個対応し、$s=\pm 1$には1個だけ対応する。各単調区間と水平線$y=a$の交点を数えると、方程式の解の個数は$$\begin{array}{cc}a\text{ の範囲}& \theta \text{ の解の個数}\\ a<L\text{ または }a>3& 0\\ a=L& 2\\ L<a<-1& 4\\ a=-1& 5\\ -1<a<U& 6\\ a=U& 4\\ U<a<3& 2\\ a=3& 1\end{array}$$となる。

式を $s=\sin \theta$ の三次関数へ直し、零点・端点・極値を同じグラフに配置する。水平線との交点数と、各 $s$ に対応する角の個数を別々に数えて一覧表を作る。

$$F(s)=-8s^3+4s^2+6s-3,-1\leqq s\leqq 1$$とおく。

(1) $$F(s)=(2s-1)(3-4s^2)$$だから、符号表より$$-1\leqq s<-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\text{または}{\displaystyle \frac{1}{2}}<s<{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\mathrm{.}$$$s=\sin \theta$ に戻して$${30}^{\circ }<\theta <{60}^{\circ },{120}^{\circ }<\theta <{150}^{\circ },{240}^{\circ }<\theta <{300}^{\circ }\mathrm{.}$$(2)$$F^{\mathrm{\prime }}(s)=-24s^2+8s+6$$の2根を$$u={\displaystyle \frac{1-\sqrt{10}}{6}},v={\displaystyle \frac{1+\sqrt{10}}{6}}$$とする。端点・極値は$$F(-1)=3,F(1)=-1,$$$$L=F(u)=-{\displaystyle \frac{4(13+5\sqrt{10})}{27}},U=F(v)={\displaystyle \frac{4(5\sqrt{10}-13)}{27}}$$であり、$L<-1<U<3$ である。

三次関数との交点 $s$ が $(-1,1)$ にあれば角は2個、$s=\pm 1$ なら角は1個である。従って解の個数は$$\begin{array}{cc}a\text{ の範囲}& \theta \text{ の個数}\\ a<L\text{ または }a>3& 0\\ a=L& 2\\ L<a<-1& 4\\ a=-1& 5\\ -1<a<U& 6\\ a=U& 4\\ U<a<3& 2\\ a=3& 1\end{array}$$となる。