京都大学 1999年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第3問

条件 $x>0,x\leqq n$ より、$x$ は$$1,2,\dots ,n$$のいずれかである。$x$ を固定すると$${\log }_2{\displaystyle \frac{y}{x}}\leqq x$$は、底2の対数が増加関数であることから$${\displaystyle \frac{y}{x}}\leqq 2^x,y\leqq x{2}^x$$と同値である。$y$ は正の整数なので、この $x$ に対して $y$ は$$1,2,\dots ,x{2}^x$$の $x{2}^x$ 通りある。

従って求める格子点の個数は$$\sum _{x=1}^{n}x{2}^x$$である。有限等比数列を微分するか、数学的帰納法を用いると$$\sum _{x=1}^{n}x{2}^x=2+(n-1)2^{n+1}\mathrm{.}$$実際、$n=1$ では両辺は2であり、右辺に次項 $(n+1)2^{n+1}$ を加えると$$2+n{2}^{n+2}=2+\{(n+1)-1\}{2}^{(n+1)+1}$$となる。

よって格子点の個数は$$2+(n-1)2^{n+1}$$である。

各 $x$ に対する $y$ の個数を数えた後、和 $x{2}^x$ を望遠和になる恒等式へ変形する。微分公式を使わずに隣接項を相殺し、有限和を直接求める。

$x$ を $1,2,\dots ,n$ のいずれかに固定すると$${\log }_2{\displaystyle \frac{y}{x}}\leqq x⟺1\leqq y\leqq x{2}^x\mathrm{.}$$従って格子点数は$$\sum _{x=1}^{n}x{2}^x$$である。

ここで$$x{2}^x=(x-1)2^{x+1}-(x-2)2^x$$と変形する。これを $x=1,\dots ,n$ で足すと中間項が全て消え$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{x=1}^{n}x{2}^x}& {\displaystyle =(n-1)2^{n+1}-(-1)2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2+(n-1)2^{n+1}\mathrm{.}}\end{array}$$従って求める個数は$$2+(n-1)2^{n+1}$$である。