京都大学 1999年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第5問

(1) $a$ が奇数なら$$a^2\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)\mathrm{.}$$もし $b$ も奇数なら$$c^2=a^2+b^2\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$$となるが、平方数の4での余りは0または1なので矛盾する。従って $b$ は偶数である。すると$$c^2=a^2+b^2\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$$だから $c$ は奇数である。

(2) $\gcd (a,b)=1$ かつ $c^2=a^2+b^2$ より$$\gcd (a,c)=1$$である。実際、$a,c$ の公約数は $c^2-a^2=b^2$ も割るため、$a,b$ の公約数になる。

(1) より $a,c$ は奇数、$b$ は偶数である。そこで$$U={\displaystyle \frac{c+a}{2}},V={\displaystyle \frac{c-a}{2}}$$とおく。$c>a>0$ なので $U,V$ は自然数であり、$$UV={\displaystyle \frac{c^2-a^2}{4}}={\left({\displaystyle \frac{b}{2}}\right)}^2\mathrm{.}$$また $U,V$ の公約数は $U+V=c$ と $U-V=a$ をともに割るので$$\gcd (U,V)=1.$$互いに素な二つの自然数の積が平方数なら、それぞれが平方数である。従ってある自然数 $d$ が存在して$$U=d^2\mathrm{.}$$すなわち$$a+c=2d^2$$である。

原始ピタゴラス数の標準表示を、この問題に必要な部分だけ因数分解から導く。互いに素な $(c+a)\mathrm{/}2,(c-a)\mathrm{/}2$ の積が平方数なのでそれぞれ平方数となり、$a=m^2-n^2,c=m^2+n^2$ を得る。

(1)
$a$ が奇数なら $a^2\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$ である。$b$ も奇数なら$$c^2\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$$となり不可能だから、$b$ は偶数である。従って $c^2\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$ で $c$ は奇数である。

(2)
$\gcd (a,b)=1$ から $\gcd (a,c)=1$ でもある。そこで$$U={\displaystyle \frac{c+a}{2}},V={\displaystyle \frac{c-a}{2}}$$と置くと$$UV={\left({\displaystyle \frac{b}{2}}\right)}^2\mathrm{.}$$$U,V$ の公約数は $U+V=c$ と $U-V=a$ を割るので $\gcd (U,V)=1$ である。互いに素な積が平方数なら各因子の素因数指数は全て偶数だから$$U=m^2,V=n^2$$となる自然数 $m,n$ が存在する。従って$$a=m^2-n^2,c=m^2+n^2\mathrm{.}$$特に$$a+c=2m^2\mathrm{.}$$よって $d=m$ と取ればよい。