京都大学 2000年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第5問

$$I(a)={\int }_0^1\mathrm{\mid }{t}^2-at\mathrm{\mid }dt$$ とおく。$t^2-at=t(t-a)$ であるから、$[0,1]$ における符号は $a$ の位置によって変わる。 $a\leqq 0$ のとき、$0\leqq t\leqq 1$ で $t-a\geqq 0$ なので $$I(a)={\int }_0^1(t^2-at)dt={\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{a}{2}}$$ である。 $0<a<1$ のとき、$0<t<a$ では $t^2-at<0$、$a<t<1$ では $t^2-at>0$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle I(a)}& {\displaystyle ={\int }_0^a(at-t^2)dt+{\int }_a^1(t^2-at)dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[{\displaystyle \frac{a}{2}}{t}^2-{\displaystyle \frac{1}{3}}{t}^3]}_0^a+{[{\displaystyle \frac{1}{3}}{t}^3-{\displaystyle \frac{a}{2}}{t}^2]}_a^1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{a^3}{6}}+({\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{a}{2}}+{\displaystyle \frac{a^3}{6}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{a}{2}}+{\displaystyle \frac{a^3}{3}}}\end{array}$$である。 $a\geqq 1$ のとき、$0\leqq t\leqq 1$ で $t-a\leqq 0$ なので $$I(a)={\int }_0^1(at-t^2)dt={\displaystyle \frac{a}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{3}}$$ である。

与えられた方程式は $x^2-ax-2I(a)=0$ である。ここで $I(a)>0$ だから、2つの根の積は $-2I(a)<0$ である。したがって実数根は異符号であり、$0\leqq x$ の範囲に入り得る根はただ1つである。

左辺を $f(x)=x^2-ax-2I(a)$ とおくと、$f(0)=-2I(a)<0$ である。正の根が $[0,1]$ に入るための必要十分条件は $f(1)=1-a-2I(a)\geqq 0$ である。

各場合でこれを調べる。 $a\leqq 0$ のとき $$1-a-2I(a)=1-a-2({\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{a}{2}})={\displaystyle \frac{1}{3}}>0$$ である。よって解は1個である。 $0<a<1$ のとき$$1-a-2I(a)=1-a-2({\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{a}{2}}+{\displaystyle \frac{a^3}{3}})={\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{2a^3}{3}}$$である。したがって ${\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{2a^3}{3}}\geqq 0$ すなわち $a^3\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$ のとき解は1個であり、それ以外では解をもたない。 $a\geqq 1$ のとき $$1-a-2I(a)=1-a-2({\displaystyle \frac{a}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{3}})={\displaystyle \frac{5}{3}}-2a$$ であり、$a\geqq 1$ では $${\displaystyle \frac{5}{3}}-2a\leqq -{\displaystyle \frac{1}{3}}<0$$ である。よって解は0個である。

以上をまとめると、$0<a<1$ で得た境界 $$a\leqq 1\mathrm{/}\sqrt[3]{2}$$ は $$1\mathrm{/}\sqrt[3]{2}<1$$ であるから、解の個数は$$\{\begin{array}{ll}1& (a\leqq {\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{2}}}),\\ 0& (a>{\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{2}}})\end{array}$$である。境界 $$a=1\mathrm{/}\sqrt[3]{2}$$ では $f(1)=0$ なので、$x=1$ が区間内の解であり、個数は1個である。

右辺を $a\leqq 0$、$0<a<1$、$a\geqq 1$ に分けて明示し、
方程式の左辺を区間端点で評価する。二次関数の軸と
$[0,1]$ 上の単調性を用い、根の個数を端点の符号だけで判定する。

$$F_a(x)=x^2-ax-2{\int }_0^1\mathrm{\mid }{t}^2-at\mathrm{\mid }dt$$とおく。積分値は常に非負なので、$F_a(0)\leqq 0$ である。
場合分けして積分すると$$2{\int }_0^1\mathrm{\mid }{t}^2-at\mathrm{\mid }dt=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{2}{3}}-a& (a\leqq 0),\\ {\displaystyle \frac{2}{3}}-a+{\displaystyle \frac{2}{3}}{a}^3& (0<a<1),\\ a-{\displaystyle \frac{2}{3}}& (a\geqq 1)\mathrm{.}\end{array}$$$a\leqq 0$ では $F_a^{\mathrm{\prime }}(x)=2x-a>0$ だから $F_a$ は
$[0,1]$ で狭義単調増加し、$F_a(1)>0$ となるので根は1個である。
$a\geqq 1$ では軸 $x=a\mathrm{/}2$ と端点の値を調べると
$[0,1]$ 内に根をもたない。

$0<a<1$ では$$F_a(1)=1-a-({\displaystyle \frac{2}{3}}-a+{\displaystyle \frac{2}{3}}{a}^3)={\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{2}{3}}{a}^3\mathrm{.}$$二次関数 $F_a$ は $x=a\mathrm{/}2$ で最小となり、$F_a(0)<0$ である。
したがって $[0,1]$ 内の根は、$F_a(1)\geqq 0$ のときちょうど1個、
$F_a(1)<0$ のとき0個である。境界条件は$$a^3\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}},\text{すなわち}a\leqq {\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{2}}}\mathrm{.}$$以上より、方程式が $[0,1]$ にもつ実数解の個数は$$\{\begin{array}{ll}1& (a\leqq {\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{2}}}),\\ 0& (a>{\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{2}}})\end{array}$$である。境界では $x=1$ が唯一の解となる。