京都大学 1998年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

放物線は原点と $(2a,0)$ を通り、頂点が $(a,m)$ である。したがって $$y=m\{1-{\left({\displaystyle \frac{x-a}{a}}\right)}^2\}$$ と書ける。整理すると $$y={\displaystyle \frac{m}{a^2}}x(2a-x)$$ である。

まず面積を求める。 $$S_m={\int }_0^{2a}{\displaystyle \frac{m}{a^2}}x(2a-x)dx$$ であるから $$S_m={\displaystyle \frac{m}{a^2}}{[a{x}^2-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}]}_0^{2a}$$ $$={\displaystyle \frac{m}{a^2}}(4a^3-{\displaystyle \frac{8a^3}{3}})={\displaystyle \frac{4am}{3}}$$ である。

次に格子点数を数える。$x$ 座標が整数で領域内にあるには $x=0,1,2,\dots ,2a$ である。各整数 $x$ に対して、$y$ 座標は $$0\leqq y\leqq {\displaystyle \frac{m}{a^2}}x(2a-x)$$ を満たす整数であるから、その個数は $\lfloor {\displaystyle \frac{m}{a^2}}x(2a-x)\rfloor +1$ である。したがって$$L_m=\sum _{x=0}^{2a}(\lfloor {\displaystyle \frac{m}{a^2}}x(2a-x)\rfloor +1)$$である。

ここで任意の実数 $Y$ について $$Y-1<\lfloor Y\rfloor \leqq Y$$ である。和の項数は $2a+1$ 個で、$a$ は固定された定数なので、ある $m$ によらない有界な量 $R_m$ を用いて $$L_m={\displaystyle \frac{m}{a^2}}\sum _{x=0}^{2a}x(2a-x)+R_m$$ と書ける。

和を計算する。 $$\sum _{x=0}^{2a}x(2a-x)=2a\sum _{x=0}^{2a}x-\sum _{x=0}^{2a}{x}^2$$ である。ここで$$\sum _{x=0}^{2a}x=a(2a+1),\sum _{x=0}^{2a}{x}^2={\displaystyle \frac{2a(2a+1)(4a+1)}{6}}$$だから $$\sum _{x=0}^{2a}x(2a-x)=2a^2(2a+1)-{\displaystyle \frac{a(2a+1)(4a+1)}{3}}$$ $$={\displaystyle \frac{a(2a+1)(2a-1)}{3}}={\displaystyle \frac{a(4a^2-1)}{3}}$$ である。よって $$L_m={\displaystyle \frac{m(4a^2-1)}{3a}}+R_m$$ と書ける。ただし $R_m$ は有界である。

したがって $${\displaystyle \frac{L_m}{S_m}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{m(4a^2-1)}{3a}}+R_m}{{\displaystyle \frac{4am}{3}}}}$$ であり、$m\to \mathrm{\infty }$ で $R_m\mathrm{/}m\to 0$ となるから$$\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{L_m}{S_m}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{4a^2-1}{3a}}}{{\displaystyle \frac{4a}{3}}}}={\displaystyle \frac{4a^2-1}{4a^2}}=1-{\displaystyle \frac{1}{4a^2}}$$である。

整数 $x$ ごとの縦列格子点数を、整数部分を使わず上下から直接挟む。有限個の縦列なので誤差は一定以下となり、面積で割ったはさみうちから極限を得る。

放物線の高さを$$Y_m(x)={\displaystyle \frac{m}{a^2}}x(2a-x)$$とする。面積は$$S_m={\int }_0^{2a}{Y}_m(x)dx={\displaystyle \frac{4am}{3}}\mathrm{.}$$整数 $j=0,1,\dots ,2a$ の縦列にある格子点数は$$\lfloor Y_m(j)\rfloor +1$$である。任意の $Y\geqq 0$ について$$Y\leqq \lfloor Y\rfloor +1\leqq Y+1$$だから、全列を加えると$$\sum _{j=0}^{2a}{Y}_m(j)\leqq L_m\leqq \sum _{j=0}^{2a}{Y}_m(j)+(2a+1)\mathrm{.}$$ここで$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{j=0}^{2a}{Y}_m(j)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{m}{a^2}}\sum _{j=0}^{2a}j(2a-j)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{m(4a^2-1)}{3a}}\mathrm{.}}\end{array}$$従って $S_m=4am\mathrm{/}3$ で割ると$${\displaystyle \frac{4a^2-1}{4a^2}}\leqq {\displaystyle \frac{L_m}{S_m}}\leqq {\displaystyle \frac{4a^2-1}{4a^2}}+{\displaystyle \frac{3(2a+1)}{4am}}\mathrm{.}$$右端の追加項は $m\to \mathrm{\infty }$ で0になる。はさみうちにより$$\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{L_m}{S_m}}=1-{\displaystyle \frac{1}{4a^2}}\mathrm{.}$$