京都大学 2000年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

$$\overrightarrow{AB}=\vec{b}$$、$$\overrightarrow{AC}=\vec{c}$$ とおく。三角形 $ABC$ は正三角形なので$$\mathrm{\mid }\vec{b}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\vec{c}\mathrm{\mid },\vec{b}\cdot \vec{c}=\mathrm{\mid }\vec{b}\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }\vec{c}\mathrm{\mid }\cos {60}^{\circ }={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{\mid }\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2$$である。 $AP$ と $BC$ の交点を $D$ とする。$D$ は $BC$ を $p:1-p$ に内分するから $$\overrightarrow{AD}=(1-p)\vec{b}+p\vec{c}$$ である。点 $A,D,P$ は一直線上にあり、$D\mathrm{\ne }A$ であるから、ある実数 $\lambda$ を用いて $$\overrightarrow{AP}=\lambda \{(1-p)\vec{b}+p\vec{c}\}$$ と書ける。

ここで、点 $X$ が $A,B,C$ を通る円の上にある条件を求める。$$\overrightarrow{AX}=\alpha \vec{b}+\beta \vec{c}$$ とする。この円は $A$ を通るので、中心を $O$ とすれば $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{AX}{\mathrm{\mid }}^2=2\overrightarrow{AO}\cdot \overrightarrow{AX}$$ と書ける。また $B,C$ も円上にあるから$$2\overrightarrow{AO}\cdot \vec{b}=\mathrm{\mid }\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2,2\overrightarrow{AO}\cdot \vec{c}=\mathrm{\mid }\vec{c}{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2$$である。したがって $$\mathrm{\mid }\alpha \vec{b}+\beta \vec{c}{\mathrm{\mid }}^2=(\alpha +\beta )\mathrm{\mid }\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2$$ となる。左辺を内積で計算すると $$\mathrm{\mid }\alpha \vec{b}+\beta \vec{c}{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2({\alpha }^2+\alpha \beta +{\beta }^2)$$ だから、円周条件は $${\alpha }^2+\alpha \beta +{\beta }^2=\alpha +\beta$$ である。 $P$ については $$\alpha =\lambda (1-p),\beta =\lambda p$$ である。これを代入すると $${\lambda }^2\{(1-p{)}^2+p(1-p)+p^2\}=\lambda$$ である。$P\mathrm{\ne }A$ なので $\lambda \mathrm{\ne }0$ であり、$$\lambda ={\displaystyle \frac{1}{(1-p{)}^2+p(1-p)+p^2}}={\displaystyle \frac{1}{p^2-p+1}}$$ を得る。$0<p<1$ なので $p^2-p+1=(p-1\mathrm{/}2{)}^2+3\mathrm{/}4>0$ であり、分母は0にならない。

よって$$\overrightarrow{AP}={\displaystyle \frac{(1-p)\overrightarrow{AB}+p\overrightarrow{AC}}{p^2-p+1}}$$である。

座標を置き、円の方程式と直線 $AD$ の媒介表示を直接連立する。
内分点 $D$ の座標を先に求めれば、未知量は直線上の倍率 $s$ だけになる。
$s=0$ は点 $A$ を表すため除き、もう一つの交点 $P$ に対応する値を選ぶ。

$A=(0,0)$、$B=(1,0)$、$C=(1\mathrm{/}2,\sqrt{3}\mathrm{/}2)$ とおく。このとき
$\mathrm{△}ABC$ は正三角形であり、3点 $A,B,C$ を通る円は$$x^2+y^2=x+{\displaystyle \frac{y}{\sqrt{3}}}$$である。

$BC$ を $p:1-p$ に内分する点を $D$ とすると$$D=(1-p)B+pC=(1-{\displaystyle \frac{p}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}p}{2}})\mathrm{.}$$点 $P$ は直線 $AD$ 上にあるから、ある実数 $s$ を用いて$$P=sD=(s(1-{\displaystyle \frac{p}{2}}),s{\displaystyle \frac{\sqrt{3}p}{2}})$$と書ける。これを円の方程式へ代入すると$$s^2\{{(1-{\displaystyle \frac{p}{2}})}^2+{\displaystyle \frac{3p^2}{4}}\}=s(1-{\displaystyle \frac{p}{2}}+{\displaystyle \frac{p}{2}})\mathrm{.}$$中括弧の中は $p^2-p+1$ であるから$$s\{s(p^2-p+1)-1\}=0.$$$s=0$ は点 $A$ を表す。求めるもう一つの交点 $P$ では$$s={\displaystyle \frac{1}{p^2-p+1}}\mathrm{.}$$したがって$$\overrightarrow{AP}=s\overrightarrow{AD}={\displaystyle \frac{(1-p)\overrightarrow{AB}+p\overrightarrow{AC}}{p^2-p+1}}\mathrm{.}$$$$p^2-p+1=(p-{\displaystyle \frac{1}{2}}{)}^2+{\displaystyle \frac{3}{4}}>0$$ なので、分母が0になることはない。