京都大学 2001年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

原点を $O$ とし、各頂点 $P_k$ について$$t_k=\overrightarrow{O{P}_k}\cdot \overrightarrow{v}(k=1,2,\dots ,6)$$とおく。これは、頂点 $P_k$ が $\overrightarrow{v}$ 方向にどれだけ進んだ位置にあるかを表す量である。 $k\mathrm{\ne }m$ のとき$$t_m-t_k=(\overrightarrow{O{P}_m}-\overrightarrow{O{P}_k})\cdot \overrightarrow{v}=\overrightarrow{P_k{P}_m}\cdot \overrightarrow{v}$$である。問題の仮定より右辺は0でないから、$t_1,t_2,\dots ,t_6$ はすべて相異なる。

有限個の実数には最大値があるので、$t_1,t_2,\dots ,t_6$ のうち最大のものを $t_k$ とする。このとき $m\mathrm{\ne }k$ なら $t_m<t_k$ であり、したがって $$\overrightarrow{P_k{P}_m}\cdot \overrightarrow{v}=t_m-t_k<0$$ である。

よって、この $P_k$ は任意の $m\mathrm{\ne }k$ について $$\overrightarrow{P_k{P}_m}\cdot \overrightarrow{v}<0$$ を満たす。したがって条件を満たす頂点が存在する。

$\vec{v}$ に垂直な平面を $\vec{v}$ の向きへ平行移動する。
仮定により2頂点へ同時に触れないので、最後に触れる頂点は一意である。
他の頂点との前後関係を内積で表す。

$\vec{v}=\vec{0}$ なら仮定に反するので $\vec{v}\mathrm{\ne }\vec{0}$ である。
$\vec{v}$ に垂直な平面を、正八面体の6頂点を通過するように
$\vec{v}$ の向きへ平行移動する。

異なる2頂点 $P_k,P_m$ が同じ平面上にあるなら、
$\overrightarrow{P_k{P}_m}$ は $\vec{v}$ に垂直となり$$\overrightarrow{P_k{P}_m}\cdot \vec{v}=0$$となる。これは仮定に反する。したがって各頂点を通過する時刻はすべて異なる。

最後に平面が通過する頂点を $P_k$ とする。他の任意の頂点 $P_m$ は
$P_k$ より $\vec{v}$ 方向の手前にあるため$$\overrightarrow{P_k{P}_m}\cdot \vec{v}<0(m\mathrm{\ne }k)\mathrm{.}$$よって条件を満たす頂点 $P_k$ が存在する。正八面体の形そのものより、
頂点が有限個で射影値がすべて異なることが本質である。