京都大学 2002年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1) $$f(x)=\log (x+\sqrt{1+x^2})$$ である。$x\geqq 0$ では $$x+\sqrt{1+x^2}>0$$ なので通常通り微分できる。合成関数の微分より $$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1+{\displaystyle \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}}{x+\sqrt{1+x^2}}}$$ である。分子をまとめると $$1+{\displaystyle \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{1+x^2}+x}{\sqrt{1+x^2}}}$$ だから、$$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{\sqrt{1+x^2}+x}{\sqrt{1+x^2}(x+\sqrt{1+x^2})}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}}$$である。よって $$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}}$$ である。

(2) 極方程式 $r=\theta$ の曲線は、直交座標で $$X=\theta \cos \theta ,Y=\theta \sin \theta$$ と表せる。ただしここでの $\theta$ はラジアンであり、$0\leqq \theta \leqq \pi$ である。

それぞれ微分すると$${\displaystyle \frac{dX}{d\theta }}=\cos \theta -\theta \sin \theta ,{\displaystyle \frac{dY}{d\theta }}=\sin \theta +\theta \cos \theta$$である。したがって弧長は$$L={\int }_0^{\pi }\sqrt{{(\cos \theta -\theta \sin \theta )}^2+{(\sin \theta +\theta \cos \theta )}^2}d\theta$$である。平方の中を整理すると交差項が消えて$${(\cos \theta -\theta \sin \theta )}^2+{(\sin \theta +\theta \cos \theta )}^2=1+{\theta }^2$$となる。よって$$L={\int }_0^{\pi }\sqrt{1+{\theta }^2}d\theta$$である。

ここで$$I=\int \sqrt{1+x^2}dx$$とおく。部分積分により$$I=x\sqrt{1+x^2}-\int {\displaystyle \frac{x^2}{\sqrt{1+x^2}}}dx$$である。また$${\displaystyle \frac{x^2}{\sqrt{1+x^2}}}={\displaystyle \frac{1+x^2}{\sqrt{1+x^2}}}-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}}=\sqrt{1+x^2}-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}}$$だから、$$I=x\sqrt{1+x^2}-I+\int {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}}dx$$となる。(1) より$$\int {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}}dx=\log (x+\sqrt{1+x^2})$$である。したがって $$I={\displaystyle \frac{1}{2}}\{x\sqrt{1+x^2}+\log (x+\sqrt{1+x^2})\}$$ を得る。

よって求める長さは$$L={\left[{\displaystyle \frac{1}{2}}\{\theta \sqrt{1+{\theta }^2}+\log (\theta +\sqrt{1+{\theta }^2})\}\right]}_0^{\pi }$$である。$\theta =0$ では $\log 1=0$ なので、$$L={\displaystyle \frac{1}{2}}\{\pi \sqrt{1+{\pi }^2}+\log (\pi +\sqrt{1+{\pi }^2})\}$$である。

(1) は対数の中身と共役な式の積が1になることを利用して微分を簡潔に確認する。
(2) は弧長積分で $x=\tan u$ と置き、現れる
${\sec }^{3}u$ の積分を部分積分する。これにより(1)と同じ対数式が自然に現れる。

(1) $$(\sqrt{1+x^2}+x)(\sqrt{1+x^2}-x)=1$$なので$$f(x)=-\log (\sqrt{1+x^2}-x)\mathrm{.}$$これを微分して整理すると$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-{\displaystyle \frac{x\mathrm{/}\sqrt{1+x^2}-1}{\sqrt{1+x^2}-x}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}}\mathrm{.}$$(2)
極方程式の弧長公式より$$L={\int }_0^{\pi }\sqrt{{\theta }^2+1}d\theta \mathrm{.}$$不定積分で $x=\tan u$ と置けば$$\int \sqrt{1+x^2}dx=\int {\sec }^{3}udu\mathrm{.}$$部分積分により$$\int {\sec }^{3}udu={\displaystyle \frac{1}{2}}\{\sec u\tan u+\log (\sec u+\tan u)\}\mathrm{.}$$$x=\tan u$ へ戻すと$$\int \sqrt{1+x^2}dx={\displaystyle \frac{1}{2}}\{x\sqrt{1+x^2}\log (x+\sqrt{1+x^2})\}\mathrm{.}$$よって$$L={\displaystyle \frac{1}{2}}\{\pi \sqrt{1+{\pi }^2}\log (\pi +\sqrt{1+{\pi }^2})\}\mathrm{.}$$