京都大学 2001年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

求める積分を $I_n$ とおく。$\mathrm{\mid }\sin nx\mathrm{\mid }$ の周期は $\pi \mathrm{/}n$ であり、区間 $[0,n\pi ]$ は$$[{\displaystyle \frac{k\pi }{n}},{\displaystyle \frac{(k+1)\pi }{n}}](k=0,1,\dots ,n^2-1)$$に分けられる。

この小区間で $u=nx-k\pi$ とおくと、$0\leqq u\leqq \pi$、$dx=du\mathrm{/}n$ であり、また $$\mathrm{\mid }\sin nx\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\sin (u+k\pi )\mathrm{\mid }=\sin u$$ である。さらに $$x={\displaystyle \frac{u+k\pi }{n}}$$ だから $$e^{-x}=e^{-(u+k\pi )\mathrm{/}n}=e^{-k\pi \mathrm{/}n}{e}^{-u\mathrm{/}n}$$ である。

したがって$$I_n=\sum _{k=0}^{n^2-1}{\int }_{k\pi \mathrm{/}n}^{(k+1)\pi \mathrm{/}n}{e}^{-x}\mathrm{\mid }\sin nx\mathrm{\mid }dx$$$$={\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{k=0}^{n^2-1}{e}^{-k\pi \mathrm{/}n}{\int }_0^{\pi }{e}^{-u\mathrm{/}n}\sin udu$$となる。すなわち$$I_n=({\int }_0^{\pi }{e}^{-u\mathrm{/}n}\sin udu)\left({\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{k=0}^{n^2-1}{e}^{-k\pi \mathrm{/}n}\right)$$である。

まず、$0\leqq u\leqq \pi$ では $e^{-u\mathrm{/}n}\to 1$ であり、しかも $0<e^{-u\mathrm{/}n}\leqq 1$ だから$${\int }_0^{\pi }{e}^{-u\mathrm{/}n}\sin udu\to {\int }_0^{\pi }\sin udu=2$$である。より具体的には $$0\leqq 1-e^{-u\mathrm{/}n}\leqq u\mathrm{/}n\leqq \pi \mathrm{/}n$$ より、差の積分は0に近づく。

次に等比数列の和は$$\sum _{k=0}^{n^2-1}{e}^{-k\pi \mathrm{/}n}={\displaystyle \frac{1-e^{-n\pi }}{1-e^{-\pi \mathrm{/}n}}}$$である。したがって$${\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{k=0}^{n^2-1}{e}^{-k\pi \mathrm{/}n}={\displaystyle \frac{1-e^{-n\pi }}{n(1-e^{-\pi \mathrm{/}n})}}$$となる。$1-e^{-n\pi }\to 1$ であり、$n(1-e^{-\pi \mathrm{/}n})\to \pi$ だから$${\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{k=0}^{n^2-1}{e}^{-k\pi \mathrm{/}n}\to {\displaystyle \frac{1}{\pi }}$$である。

以上より $$I_n\to 2\cdot {\displaystyle \frac{1}{\pi }}={\displaystyle \frac{2}{\pi }}$$ である。したがって求める極限値は ${\displaystyle \frac{2}{\pi }}$ である。

$\mathrm{\mid }\sin nx\mathrm{\mid }$ の各半周期で $e^{-x}$ を両端の値で挟む。
三角関数部分の積分は毎回 $2\mathrm{/}n$ であり、残りは等比数列になる。
上下の評価が同じ極限へ収束することを示す。

積分を $I_n$ とおく。各区間$$[{\displaystyle \frac{k\pi }{n}},{\displaystyle \frac{(k+1)\pi }{n}}](k=0,1,\dots ,n^2-1)$$では $e^{-x}$ が単調減少するので$$e^{-(k+1)\pi \mathrm{/}n}\leqq e^{-x}\leqq e^{-k\pi \mathrm{/}n}\mathrm{.}$$また$${\int }_{k\pi \mathrm{/}n}^{(k+1)\pi \mathrm{/}n}\mathrm{\mid }\sin nx\mathrm{\mid }dx={\displaystyle \frac{1}{n}}{\int }_0^{\pi }\sin udu={\displaystyle \frac{2}{n}}\mathrm{.}$$したがって$${\displaystyle \frac{2}{n}}\sum _{k=0}^{n^2-1}{e}^{-(k+1)\pi \mathrm{/}n}\leqq I_n\leqq {\displaystyle \frac{2}{n}}\sum _{k=0}^{n^2-1}{e}^{-k\pi \mathrm{/}n}\mathrm{.}$$右端は$${\displaystyle \frac{2}{n}}{\displaystyle \frac{1-e^{-n\pi }}{1-e^{-\pi \mathrm{/}n}}}⟶{\displaystyle \frac{2}{\pi }}$$である。左端は右端に $e^{-\pi \mathrm{/}n}$ を掛けたものだから、
同じく $2\mathrm{/}\pi$ に収束する。

はさみうちの原理より$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{I}_n={\displaystyle \frac{2}{\pi }}\mathrm{.}$$