京都大学 2002年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第6問

$$A={\int }_{-\pi \mathrm{/}2}^{\pi \mathrm{/}2}\cos yf(y)dy,B={\int }_{-\pi \mathrm{/}2}^{\pi \mathrm{/}2}\sin yf(y)dy$$とおく。加法定理により与式は$$f(x)=x+1-A\sin x+B\cos x$$となる。これを $A,B$ の定義へ代入する。区間の対称性と$${\int }_{-\pi \mathrm{/}2}^{\pi \mathrm{/}2}{\cos }^{2}ydy={\int }_{-\pi \mathrm{/}2}^{\pi \mathrm{/}2}{\sin }^{2}ydy={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$を用いると$$A=2+{\displaystyle \frac{\pi }{2}}B,B=2-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}A\mathrm{.}$$これを解いて$$A={\displaystyle \frac{4(2+\pi )}{4+{\pi }^2}},B={\displaystyle \frac{4(2-\pi )}{4+{\pi }^2}}\mathrm{.}$$したがって$$f(x)=x+1-{\displaystyle \frac{4(2+\pi )}{4+{\pi }^2}}\sin x+{\displaystyle \frac{4(2-\pi )}{4+{\pi }^2}}\cos x\mathrm{.}$$この式から得られる $A,B$ は上の連立方程式を満たすので、元の積分方程式への代入により実際に成立する。

積分項を $I(x)$ と置くと、核の性質から $I^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=-I$ である。
元の式と合わせて $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+f=x+1$ という微分方程式を得る。
その一般形を元の積分方程式へ戻し、$\sin x,\cos x$ の係数を比較して
2定数を決める。

$$I(x)={\int }_{-\pi \mathrm{/}2}^{\pi \mathrm{/}2}\sin (x-y)f(y)dy$$とおく。積分記号の下で2回微分すると $I^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-I(x)$ である。
元の式 $f+I=x+1$ を2回微分して$$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}-I=0.$$$I=x+1-f$ を代入すれば$$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+f=x+1.$$よって$$f(x)=x+1+C\cos x+D\sin x$$と書ける。

加法定理で積分項を計算すると、元の方程式に適合する条件は$$C=2+{\displaystyle \frac{\pi }{2}}D,D=-2-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}C\mathrm{.}$$これを解いて$$C={\displaystyle \frac{4(2-\pi )}{4+{\pi }^2}},D=-{\displaystyle \frac{4(2+\pi )}{4+{\pi }^2}}\mathrm{.}$$したがって$$f(x)=x+1-{\displaystyle \frac{4(2+\pi )}{4+{\pi }^2}}\sin x+{\displaystyle \frac{4(2-\pi )}{4+{\pi }^2}}\cos x\mathrm{.}$$