京都大学 2000年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第2問

自然対数を $\log$ と書き、与えられた不等式の左辺から右辺を引いて $\log 2$ を掛けた量を$$F(x,y)=(x+y-1)\log (x+y)-(x-1)\log x-(y-1)\log y-y\log 2$$とおく。

$y\geqq 1$ を固定して $x$ で微分すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }F}{\mathrm{\partial }x}}}& {\displaystyle =\log (x+y)+1-{\displaystyle \frac{1}{x+y}}-(\log x+1-{\displaystyle \frac{1}{x}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\log (1+{\displaystyle \frac{y}{x}})+{\displaystyle \frac{1}{x}}-{\displaystyle \frac{1}{x+y}}>0.}\end{array}$$従って $F(x,y)$ は $x$ について増加する。条件 $x\geqq y$ より$$F(x,y)\geqq F(y,y)\mathrm{.}$$ここで$$\begin{array}{rl}{\displaystyle F(y,y)}& {\displaystyle =(2y-1)\log (2y)-2(y-1)\log y-y\log 2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(y-1)\log 2+\log y\geqq 0}\end{array}$$である。最後の不等式は $y\geqq 1$ による。

従って $F(x,y)\geqq 0$ であり、$\log 2>0$ だから、もとの不等式$$(x+y-1){\log }_2(x+y)\geqq (x-1){\log }_{2}x+(y-1){\log }_{2}y+y$$が成立する。

底を自然対数へ変え、$x=uy(u\geqq 1)$ と置く。
差を $y$ の一次関数として整理すると $y$ について単調増加であることが分かる。
そこで $y=1$ に帰着し、残る1変数関数も微分で処理する。

両辺の差に ${\log }_{e}2$ を掛けたものを $F(x,y)$ とする。
$x=uy(u\geqq 1)$ とおいて整理すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle F(uy,y)=}& {\displaystyle \log y+\{y(u+1)-1\}\log (u+1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle -(uy-1)\log u-y\log 2.}\end{array}$$$u$ を固定して $y$ で微分すれば$${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }F}{\mathrm{\partial }y}}={\displaystyle \frac{1}{y}}+(u+1)\log (u+1)-u\log u-\log 2.$$$u\geqq 1,y\geqq 1$ であり、$$(u+1)\log (u+1)-u\log u-\log 2\geqq 0$$である。実際、左辺は $u=1$ で $\log 2>0$、その導関数は
$\log (1+1\mathrm{/}u)>0$ である。従って $F(uy,y)$ は $y$ について増加し、$$F(uy,y)\geqq F(u,1)\mathrm{.}$$$$G(u)=F(u,1)=u\log (u+1)-(u-1)\log u-\log 2$$とおくと $G(1)=0$ であり、$$G^{\mathrm{\prime }}(u)=\log (1+{\displaystyle \frac{1}{u}})+{\displaystyle \frac{1}{u(u+1)}}>0.$$よって $G(u)\geqq 0$、従って $F(x,y)\geqq 0$ である。
${\log }_{e}2>0$ なので、これは元の底2の不等式と同値である。
等号は $u=y=1$、すなわち $x=y=1$ のときに限る。