京都大学 2001年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

(1) 与えられた評価を10倍すると$$3.010<10{\log }_{10}2<\mathrm{3.011.}$$従って$$0.010<\{10{\log }_{10}2\}<0.011<\mathrm{0.02.}$$よって一例は$$n=10$$である。

(2) $$n{\log }_{10}2=M+r(M\in \mathbb{Z},0\leqq r<1)$$ と書くと$$2^n={10}^M{10}^r\mathrm{.}$$従って最高位が7であるための条件は$${\log }_{10}7\leqq r<{\log }_{10}8$$である。

$n=46$ とする。与えられた評価から$$13.8460<46{\log }_{10}2<13.8506$$だから$$0.8460<\{46{\log }_{10}2\}<\mathrm{0.8506.}$$一方$${\log }_{10}7<0.8451<0.8460$$であり、また$${\log }_{10}8=3{\log }_{10}2>0.9030>\mathrm{0.8506.}$$従って$${\log }_{10}7<\{46{\log }_{10}2\}<{\log }_{10}8.$$よって一例は$$n=46$$である。

小数部分の条件は $2^{10}=1024$ から直ちに得る。
最高位については同じ10乗のかたまりを使い、
$2^{46}=64(2^{10}{)}^4$ を整数として計算して先頭を読む。

(1) $$2^{10}=1024=1.024\times {10}^3$$だから$$10{\log }_{10}2=3+{\log }_{10}\mathrm{1.024.}$$$1<1.024<{10}^{0.02}$ であることは、与えられた評価$$3.010<10{\log }_{10}2<3.011$$からも分かる。したがって$$\{10{\log }_{10}2\}<0.02$$であり、一例は $n=10$ である。

(2)

繰り返し二乗すると$$2^{20}=1048576,2^{40}=1099511627776.$$したがって$$2^{46}=64\cdot 2^{40}=70368744177664.$$最高位の数字は7なので、一例は$$n=46$$である。これは与えられた対数評価から得られる$${\log }_{10}7<\{46{\log }_{10}2\}<{\log }_{10}8$$ とも一致する。